Superadditivité

En mathématiques, une suite est dite superadditive si, pour tout m et n, elle satisfait l'inégalité

$a_{n+m}\ge a_n+a_m$

Le principal avantage des suites superadditives est qu'elles obéissent au lemme de Michael Fekete.

De même, une fonction f est dite superadditive si l'on a

$f(x+y)\ge f(x)+f(y)$

pour tout x et y dans le domaine de f.

Par exemple, $f(x)=x^2$ est une fonction superadditive pour les nombres réels positifs : le carré de Modèle:Math est toujours supérieur ou égal au carré de Modèle:Mvar plus le carré de Modèle:Mvar.

Un lemme analogue à celui de Fekete existe pour les fonctions. Il y a aussi des extensions de ce dernier dans des cas moins forts, par exemple si la propriété de super-additivité n'est pas vérifiée sur tout le domaine de la fonction. D'autres résultats permettent de déduire la vitesse de convergence de cette limite si l'on a à la fois des formes de super- et de sous-additivité. Une bonne présentation de ce sujet peut être trouvée dans Steele (1997)Modèle:,.

Si f est une fonction super additive, et si 0 est dans son domaine, alors f(0) ≤ 0. On a en effet

$\mathrm{\forall }x,f(x)=f(x+0)\ge f(0)+f(x).$

L'inverse de la super-additivité d'une fonction est la sous-additivité.

Exemples de fonctions super-additives

• Le déterminant est superadditif pour les matrices hermitiennes non négatives, c'est-à-dire, si $A,B\in M_n(ℂ)$ sont des matrices hermitiennes positives, on a : $\det (A+B)\ge \det (A)+\det (B)$.

C'est une conséquence du théorème du déterminant de Minkowski, il montre en effet de manière générale que $A\mapsto \det (A{)}^{1/n}$est super-additif (c'est-à-dire concave) pour des matrices hermitiennes de taille n on a

$\det (A+B{)}^{1/n}\ge \det (A{)}^{1/n}+\det (B{)}^{1/n}$pour des matrices non-négatives.

• Horst Alzer a prouvé que la fonction gamma d'Hadamard est superadditive pour tous nombres réels x, y avec x, y ≥ 1.5031.