Oscillateur de Duffing

Une section de Poincaré de l'équation de Duffing forcée suggérant un comportement chaotique Modèle:Math.

LModèle:'équation de Duffing (ou oscillateur de Duffing), du nom de Modèle:Lien (1861–1944), est une équation différentielle non linéaire du second ordre utilisée pour modéliser certains oscillateurs amortis et forcés. L'équation s'écrit

$\ddot{x}+\delta \dot{x}+\alpha x+\beta x^3=\gamma \cos (\omega t)$

qui décrit le déplacement Modèle:Math en fonction du temps Modèle:Mvar.

L'équation décrit le mouvement d'un oscillateur amorti avec un potentiel plus complexe qu'un mouvement harmonique simple (cas correspondant à Modèle:Math) ; un modèle physique serait un pendule pesant où la raideur du ressort ne suivrait pas la loi de Hooke.

L'équation de Duffing est un exemple de système dynamique simple pouvant présenter un comportement chaotique, comme l'oscillateur de Van der Pol. Plus encore, le système de Duffing présente en réponse fréquentielle le phénomène de résonance de saut qui se rapproche d'un comportement d'hystérésis en fréquence.

Paramètres

Les paramètres donnés dans l'équation caractérisent les différents effets :

• Modèle:Mvar contrôle le taux d'amortissement,
• Modèle:Mvar contrôle la raideur linéaire,
• Modèle:Mvar contrôle le taux de non-linéarité dans la force restauratrice ; le cas Modèle:Math correspondant à un oscillateur harmonique amorti et forcé simple,
• Modèle:Mvar est l'amplitude de la force conductrice périodique,
• Modèle:Mvar est la fréquence angulaire de cette force.

L'équation de Duffing peut être vue comme décrivant les oscillations d'une masse attachée à un ressort non linéaire et un amortisseur linéaire. La force restauratrice fournie par le ressort s'écrit Modèle:Math.

Pour Modèle:Math et Modèle:Math, le ressort est dit raide ; si Modèle:Math, on parle de ressort souple (toujours pour Modèle:Math). Les mêmes qualificatifs sont alors appliqués à l'équation de Duffing, selon les valeurs de Modèle:Mvar (et Modèle:Mvar).

Le nombre de paramètre dans l'équation de Duffing peut être réduit à 2 par changement d'échelle. Un exemple consiste à changer Modèle:Mvar et Modèle:Mvar en Modèle:Math et Modèle:Math en supposant Modèle:Math (d'autres changements de variables sont possibles, selon les valeurs des paramètres ou l'importance portée à certains termes). Dans ce cas:

$\frac{{\mathrm{d}}^{2}y}{\mathrm{d}{\tau }^2}+2\eta \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}\tau }+y+\epsilon y^3=\cos (\sigma \tau ),$

avec

$\eta =\frac{\delta }{2\sqrt{\alpha }},\epsilon =\frac{\beta {\gamma }^2}{{\alpha }^3}\text{et}\sigma =\frac{\omega }{\sqrt{\alpha }}.$

L'équation ne dépend plus que de trois coefficients et des deux conditions initiales.

Méthodes de résolution

Il n'est pas possible de donner une solution exacte à l'équation de Duffing sous forme symbolique. Cependant, plusieurs méthodes d'approximation fonctionnent bien :

• un développement en série de Fourier permet d'avoir une description du mouvement pour un ordre de précision donné ;
• le terme Modèle:Math, parfois appelé terme de Duffing, peut être approché aussi près que souhaité et le système est vu comme un oscillateur harmonique simple perturbé ;
• la méthode de Frobenius ;
• des méthodes de résolution numérique classique (méthode d'Euler, Runge-Kutta...) ;
• la méthode par homotopie est utilisée avec de bons résultats, même dans le cas de forte non-linéaritéModèle:,.

Dans le cas spécial de l'équation sans amortissement (Modèle:Math) et sans forçage (Modèle:Math), on peut écrire la solution exacte avec les fonctions elliptiques de Jacobi.

Bornes de la solution pour l'oscillateur non forcé

Oscillateur non amorti

En multipliant l'équation de Duffing non amorti et non forcé (Modèle:Math), avec $\dot{x}$, on obtient :

$\begin{array}{cc}& \dot{x}(\ddot{x}+\alpha x+\beta x^3)=0\\ & \Rightarrow \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}[\frac{1}{2}{\left(\dot{x}\right)}^2+\frac{1}{2}\alpha x^2+\frac{1}{4}\beta x^4]=0\\ & \Rightarrow \frac{1}{2}{\left(\dot{x}\right)}^2+\frac{1}{2}\alpha x^2+\frac{1}{4}\beta x^4=H,\end{array}$

où Modèle:Mvar est une constante déterminée par les conditions initiales Modèle:Math et $\dot{x}(0).$

La substitution $y=\dot{x}$ dans Modèle:Mvar montre que le système est hamiltonien :

$\dot{x}=+\frac{\partial H}{\partial y},\dot{y}=-\frac{\partial H}{\partial x}\text{avec}H=\frac{1}{2}{y}^2+\frac{1}{2}\alpha x^2+\frac{1}{4}\beta x^4.$

Quand Modèle:Mvar et Modèle:Mvar sont positifs, la solution est bornée:

$|x|\le \sqrt{2H/\alpha }\text{et}|\dot{x}|\le \sqrt{2H},$

avec le hamiltonien Modèle:Mvar positif.

Oscillateur amorti

De façon similaire, pour l'oscillateur amorti

$\begin{array}{cc}& \dot{x}(\ddot{x}+\delta \dot{x}+\alpha x+\beta x^3)=0\\ & \Rightarrow \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}[\frac{1}{2}{\left(\dot{x}\right)}^2+\frac{1}{2}\alpha x^2+\frac{1}{4}\beta x^4]=-\delta {\left(\dot{x}\right)}^2\\ & \Rightarrow \frac{\mathrm{d}H}{\mathrm{d}t}=-\delta {\left(\dot{x}\right)}^2\le 0,\end{array}$

avec Modèle:Math pour l'amortissement. Sans forçage, l'oscillateur de Duffing amorti va tendre vers un de ses points d'équilibre stable. Ces points d'équilibre, stable ou non, correspondent aux cas où Modèle:Math. Si Modèle:Math, le seul point d'équilibre stable est en Modèle:Math ; si Modèle:Math et Modèle:Math, l'équilibre stable peut être atteint en Modèle:Math.

Réponse fréquentielle

Réponse fréquentielle Modèle:Math en fonction de Modèle:Math pour l'équation de Duffing, avec Modèle:Math et un amortissement à Modèle:Math. Les parties en pointillés de la réponse fréquentielle sont instables.

L'oscillateur de Duffing forcé avec non-linéarité forcée est décrite par l'équation différentielle ordinaire :

$\ddot{x}+\delta \dot{x}+\alpha x+\beta x^3=\gamma \cos (\omega t).$

La réponse fréquentielle de cet oscillateur décrit l'amplitude Modèle:Mvar d'une réponse en régime permanent de l'équation (Modèle:Math) à une fréquence donnée pour une excitation Modèle:Mvar. Pour un oscillateur linéaire avec Modèle:Math, la réponse fréquentielle est également linéaire. Cependant, pour un terme de Duffing non nul, la réponse fréquentielle devient non linéaire. Selon le type de non-linéarité, l'oscillateur de Duffing peut montrer une réponse fréquentielle raide, souple ou mixte. Par la méthode d'analyse par homotopie ou d'équilibrage harmonique, on peut dériver une équation de la réponse fréquentielle de la formeModèle:,:

$[{({\omega }^2-\alpha -\frac{3}{4}\beta z^2)}^2+{\left(\delta \omega \right)}^2]z^2={\gamma }^2.$

Pour les paramètres de l'équation de Duffing, cette équation algébrique donne l'amplitude d'oscillation Modèle:Mvar en régime permanent à une excitation fréquentielle donnée.

Sauts

Sauts dans la réponse fréquentielle pour Modèle:Math, Modèle:Math, Modèle:Math. Les variations de fréquence créent un hystérésis entre les points A, B, C et D.

Pour certains ordres de valeurs des paramètres de l'équation de Duffing, la réponse fréquentielle peut ne plus une fonction à valeurs réelles de la fréquence de forçage Modèle:Mvar. Pour un oscillateur à ressort raide (Modèle:Math et Modèle:Math pris assez grand), la réponse fréquentielle penche vers les hautes fréquences, et vers les basses fréquences pour celui à ressort souple (Modèle:Math et Modèle:Math pris assez grand). Le côté surplombant est instable et la réponse correspondante ne peut être maintenue sur une longue durée. Par conséquent, le phénomène de saut apparait :

• quand la fréquence angulaire Modèle:Mvar est augmentée lentement (avec les autres paramètres fixés), l'amplitude de réponse Modèle:Mvar chute violemment,
• si la fréquence angulaire Modèle:Mvar est lentement réduite, l'amplitude fait un bond vers la branche haute de la réponse fréquentielle.

Les deux sauts ne correspondent pas, créant ainsi un hystérésis dans le système dépendant de l'évolution de la fréquence.

Exemples

Modèle:Multiple image Certains exemples typiques de séries temporelles et portraits de phase de l'équation de Duffing, montrant l'apparition de sous-harmoniques par des bifurcations à doublement de période – ou des comportements chaotiques. L'amplitude forcée augmente de Modèle:Math à Modèle:Math. Les autres paramètres ont les valeurs Modèle:Math et Modèle:Math. Les conditions initiales sont Modèle:Math et $\dot{x}(0)=0.$ Les points rouges dans les portraits de phase sont aux temps Modèle:Mvar pour un multiple entier de la période Modèle:Math.

Voir aussi

Articles connexes

• Oscillateur de Van der Pol
• Théorie du chaos

Bibliographie

• Modèle:Ouvrage
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• Modèle:Ouvrage
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Liens externes

• Modèle:En Duffing oscillator sur Scholarpedia
• Modèle:Mathworld