Fonction elliptique de Jacobi

En mathématiques, les fonctions elliptiques de Jacobi sont des fonctions elliptiques d'une grande importance historique.

Introduites par Carl Gustav Jakob Jacobi vers 1830, elles ont des applications directes, par exemple dans l'équation du pendule. Elles présentent aussi des analogies avec les fonctions trigonométriques, qui sont mises en valeur par le choix des notations Modèle:Math et Modèle:Math, qui rappellent Modèle:Math et Modèle:Math. Si les fonctions elliptiques thêta de Weierstrass semblent mieux adaptées aux considérations théoriques, les problèmes physiques pratiques font plus appel aux fonctions de Jacobi.

Introduction

Construction auxiliaire : le rectangle de Jacobi.

Il existe 12 fonctions elliptiques de Jacobi.

Ce sont des fonctions d'une variable complexe mais qui dépendent d'un paramètre Modèle:Math élément de ]0,1[, sous-entendu dans les notations. Modèle:Math s'appelle le module des fonctions de Jacobi. À ce paramètre Modèle:Math, on associe les deux nombres Modèle:Math et Modèle:Math, définis par les intégrales elliptiques $K=\underset{0}{\overset{\pi /2}{\int }}\frac{\mathrm{d}\theta }{\sqrt{1-k^2{\sin }^2\theta }}$ et $K^{\prime }=\underset{0}{\overset{\pi /2}{\int }}\frac{\mathrm{d}\theta }{\sqrt{1-(1-k^2){\sin }^2\theta }}$, ainsi que le nombre $k^{\prime }=\sqrt{1-k^2}$, appelé comodule.

Dans le plan complexe, on dispose un rectangle dont les quatre sommets sont conventionnellement notés Modèle:Math, Modèle:Math, Modèle:Math et Modèle:Math, de façon que Modèle:Math soit à l'origine, Modèle:Math au point d'abscisse Modèle:Math sur l'axe des réels, Modèle:Math au point d'affixe complexe Modèle:Math, et Modèle:Math au point d'affixe Modèle:Math sur l'axe imaginaire.

Le nom de chacune des fonctions de Jacobi est alors associé à un couple formé de deux sommets du rectangle. Ainsi, les noms des 12 fonctions elliptiques de Jacobi sont : Modèle:Math, Modèle:Math, Modèle:Math, Modèle:Math, Modèle:Math, Modèle:Math, Modèle:Math, Modèle:Math, Modèle:Math, Modèle:Math, Modèle:Math et Modèle:Math.

Pour tout sommet Modèle:Math parmi les quatre sommets Modèle:MathModèle:MathModèle:MathModèle:Math, et pour tout sommet Modèle:Math pris parmi les trois sommets restants, la fonction de Jacobi Modèle:Math est la seule fonction de la variable complexe qui soit doublement périodique et méromorphe, et qui vérifie les propriétés suivantes :

• Elle admet un zéro simple au sommet Modèle:Math, et un pôle simple au sommet Modèle:Math.
• Elle est périodique de période Modèle:Math selon l'axe réel, et périodique de période Modèle:Math selon l'axe imaginaire. Les nombres Modèle:Math et Modèle:Math sont appelés « quarts de période ».
• Elle est périodique dans la direction Modèle:Math, de période double de la distance de Modèle:Math à Modèle:Math.
• Le coefficient du premier terme de son développement en série au voisinage de Modèle:Math = 0 vaut 1. Autrement dit, ce premier terme vaut Modèle:Math, 1/Modèle:Math ou 1 selon que le sommet correspondant à Modèle:Math = 0 est un zéro, un pôle ou un point ordinaire de la fonction.

Dans un cadre plus général, Modèle:Math est complexe, ainsi que Modèle:Math et Modèle:Math, et on travaille à partir d'un parallélogramme. Cependant, si Modèle:Math et Modèle:Math sont réels , alors les fonctions elliptiques de Jacobi prennent des valeurs réelles lorsqu'elles sont appliquées à une variable réelle.

Définition

Parmi les douze fonctions de Jacobi, on en distingue trois, appelées fonctions de base de Jacobi. Ce sont Modèle:Math, Modèle:Math et Modèle:Math. On définit les autres fonctions de Jacobi à partir de celles-ci. Pour définir les trois fonctions de base, on introduit une fonction intermédiaire, la fonction amplitude de Jacobi.

Intégrale elliptique incomplète de première espèce et fonction amplitude

On rappelle que l'intégrale elliptique incomplète de première espèce associée au module Modèle:Math est la fonction impaire croissante sur les réels définie par :

$F(a,k)=\underset{0}{\overset{a}{\int }}\frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{1-k^2{\sin }^{2}x}}$

On remarque que la constante Modèle:Math définie précédemment n'est autre que $F(\frac{\pi }{2},k)$. Elle est appelée intégrale elliptique complète de première espèce.

On appelle fonction amplitude de Jacobi la fonction réciproque de Modèle:Math, notée Modèle:Math :

$u=F(a,k)⟺a=A(u,k)$

Elle est elle-même impaire et croissante sur les réels, et augmente de π lorsque Modèle:Math augmente de Modèle:Math.

Les trois fonctions de base de Jacobi (1827)

On les définit comme suit :

• la fonction sinus de Jacobi : $\mathrm{s}\mathrm{n}(u,k)=\sin (A(u,k))$. Sur les réels, elle est périodique de période Modèle:Math.
• la fonction cosinus de Jacobi : $\mathrm{c}\mathrm{n}(u,k)=\cos (A(u,k))$. Sur les réels, elle est périodique de période Modèle:Math.
• la fonction dn de Jacobi : $\mathrm{d}\mathrm{n}(u,k)=\sqrt{1-k^2\mathrm{s}\mathrm{n}(u,k{)}^2}$. Sur les réels, elle est périodique de période Modèle:Math.

Modèle:Math est une fonction impaire, alors que Modèle:Math et Modèle:Math sont paires.

Cas limites

On retrouve les fonctions trigonométriques circulaires et hyperboliques pour les valeurs limites 0 et 1 de Modèle:Math :

• Si Modèle:Math = 0, on retrouve la trigonométrie ordinaire. En effet, $F(a,0)=a$, $A(u)=u$, $K=\frac{\pi }{2}$ et Modèle:Math est envoyé à l'infini. Modèle:Math est le sinus, Modèle:Math le cosinus et Modèle:Math la fonction constante 1.
• Si Modèle:Math = 1, on voit apparaître les fonctions de la trigonométrie hyperbolique. En effet, $u=F(a,1)=\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g}\mathrm{t}\mathrm{h}(\sin (a))$ de sorte que $\sin (a)=\tanh (u)$ (formule de Gudermann), Modèle:Math est envoyé à l'infini et $K^{\prime }=\frac{\pi }{2}$. Modèle:Math est la fonction Modèle:Math, Modèle:Math et Modèle:Math la fonction Modèle:Math.

Les autres fonctions

Gudermann (1838), puis Glaisher (1882) introduiront les neuf autres fonctions :

$\mathrm{n}\mathrm{s}(u,k)=\frac{1}{\mathrm{s}\mathrm{n}(u,k)}$, $\mathrm{n}\mathrm{c}(u,k)=\frac{1}{\mathrm{c}\mathrm{n}(u,k)}$, $\mathrm{n}\mathrm{d}(u,k)=\frac{1}{\mathrm{d}\mathrm{n}(u,k)}$

$\mathrm{s}\mathrm{c}(u,k)=\frac{\mathrm{s}\mathrm{n}(u,k)}{\mathrm{c}\mathrm{n}(u,k)}$, $\mathrm{c}\mathrm{s}(u,k)=\frac{\mathrm{c}\mathrm{n}(u,k)}{\mathrm{s}\mathrm{n}(u,k)}$

$\mathrm{s}\mathrm{d}(u,k)=\frac{\mathrm{s}\mathrm{n}(u,k)}{\mathrm{d}\mathrm{n}(u,k)}$, $\mathrm{d}\mathrm{s}(u,k)=\frac{\mathrm{d}\mathrm{n}(u,k)}{\mathrm{s}\mathrm{n}(u,k)}$

$\mathrm{c}\mathrm{d}(u,k)=\frac{\mathrm{c}\mathrm{n}(u,k)}{\mathrm{d}\mathrm{n}(u,k)}$, $\mathrm{d}\mathrm{c}(u,k)=\frac{\mathrm{d}\mathrm{n}(u,k)}{\mathrm{c}\mathrm{n}(u,k)}$

Fonctions réciproques

On peut définir les fonctions réciproques des fonctions elliptiques de Jacobi, pour x entre -1 et 1 :

• $\mathrm{A}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{s}\mathrm{n}(x,k)=\underset{0}{\overset{x}{\int }}\frac{\mathrm{d}t}{\sqrt{(1-t^2)(1-k^2{t}^2)}}$
• $\mathrm{A}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{c}\mathrm{n}(x,k)=\underset{x}{\overset{1}{\int }}\frac{\mathrm{d}t}{\sqrt{(1-t^2)(1-k^2+k^2{t}^2)}}$

Formulaire

Valeurs remarquables

Pour les valeurs réelles de la variable :

• pour u = 0, on a $\text{sn}(0)=0,\text{cn}(0)=1,\text{dn}(0)=1.$
• pour u = K/2, on a $\text{sn}\left(\frac{K}{2}\right)=\frac{1}{\sqrt{1+k^{\prime }}},\text{cn}\left(\frac{K}{2}\right)=\sqrt{\frac{k^{\prime }}{1+k^{\prime }}},\text{dn}\left(\frac{K}{2}\right)=\sqrt{k^{\prime }}.$
• pour u = K, on a $\text{sn}(K)=1,\text{cn}(K)=0,\text{dn}(K)=k^{\prime }$

Dérivées

Les dérivées des fonctions de base sont :

$A^{\prime }(u)=\text{dn}(u)$

${\text{sn}}^{\prime }(u)=\text{cn}(u)\text{dn}(u)$

${\text{cn}}^{\prime }(u)=-\text{sn}(u)\text{dn}(u)$

${\text{dn}}^{\prime }(u)=-k^2\text{sn}(u)\text{cn}(u)$

Translation

On dispose des relations suivantes :

• $\text{sn}(u+K)=\frac{\text{cn}(u)}{\text{dn}(u)}$
• $\text{cn}(u+K)=-k^{\prime }\frac{\text{sn}(u)}{\text{dn}(u)}$
• $\text{dn}(u+K)=\frac{k^{\prime }}{\text{dn}(u)}$
• $\text{sn}(u+2K)=-\text{sn}(u)$
• $\text{cn}(u+2K)=-\text{cn}(u)$
• $\text{dn}(u+2K)=\text{dn}(u)$

Relations trigonométriques

Addition

On dispose des formules d'addition suivantes, généralisant les formules d'addition trigonométriques :

• $\text{sn}(u+v)=\frac{\text{sn}(u)\text{cn}(v)\text{dn}(v)+\text{sn}(v)\text{cn}(u)\text{dn}(u)}{1-k^2{\text{sn}}^2(u){\text{sn}}^2(v)}$
• $\text{cn}(u+v)=\frac{\text{cn}(u)\text{cn}(v)-\text{sn}(u)\text{dn}(u)\text{sn}(v)\text{dn}(v)}{1-k^2{\text{sn}}^2(u){\text{sn}}^2(v)}$
• $\text{dn}(u+v)=\frac{\text{dn}(u)\text{dn}(v)-k^2\text{sn}(u)\text{cn}(u)\text{sn}(v)\text{cn}(v)}{1-k^2{\text{sn}}^2(u){\text{sn}}^2(v)}$

Carrés

• ${\text{sn}}^2(u)+{\text{cn}}^2(u)=1$
• $k^2{\text{sn}}^2(u)+{\text{dn}}^2(u)=1$
• $k^2{\text{cn}}^2(u)+k{\text{'}}^2={\text{dn}}^2(u)$ avec $k^{\prime }=\sqrt{1-k^2}$ le complément du module Modèle:Math.
• ${\text{cn}}^2(u)+k{\text{'}}^2{\text{sn}}^2(u)={\text{dn}}^2(u)$

Transformées des carrés en arc double

• ${\text{sn}}^2(u)=\frac{1-\text{cn}(2u)}{1+\text{dn}(2u)}$
• ${\text{cn}}^2(u)=\frac{\text{dn}(2u)+\text{cn}(2u)}{1+\text{dn}(2u)}$
• ${\text{dn}}^2(u)=\frac{\text{dn}(2u)+\text{cn}(2u)}{1+\text{cn}(2u)}$

Équations différentielles

Les règles de dérivation des fonctions de Jacobi permettent de montrer que Modèle:Math, Modèle:Math et Modèle:Math sont respectivement solutions des équations différentielles suivantes :

• Modèle:Math : $\ddot{x}+(1+k^2)x-2k^2{x}^3=0$
• Modèle:Math : $\ddot{x}+(1-2k^2)x+2k^2{x}^3=0$
• Modèle:Math : $\ddot{x}-(2-k^2)x+2x^3=0$

Applications

Le pendule simple oscillant

Schéma du pendule simple.

On considère un pendule simple, de longueur Modèle:Mvar, oscillant dans un champ de pesanteur Modèle:Mvar. Soit Modèle:Mvar l'angle qu'il forme avec la verticale descendante, et Modèle:Math son amplitude maximale. Modèle:Mvar vérifie l'équation du mouvement suivante (provenant de la conservation de l'énergie mécanique du pendule) :

${\dot{\theta }}^2=2\frac{g}{l}(\cos \theta -\cos {\theta }_0)$

La solution de cette équation qui s'annule au temps Modèle:Mvar = 0 vérifie :

$\sin \left(\frac{\theta }{2}\right)=\sin \left(\frac{{\theta }_0}{2}\right)\mathrm{s}\mathrm{n}({\omega }_{0}t,k)$

où l'on a donné au module de la fonction de Jacobi la valeur $k=\sin \left(\frac{{\theta }_0}{2}\right)$, et où ${\omega }_0=\sqrt{\frac{g}{l}}$ est la pulsation du pendule simple pour les petites amplitudes.

La période du pendule est $T=\frac{4K(k)}{{\omega }_0}$. La fonction amplitude $A({\omega }_{0}t,k)$ croît avec Modèle:Mvar, et joue le rôle d'« échelle de temps » adaptée au problème : à chaque période de temps réel du pendule, l'amplitude aura augmenté de Modèle:Math. L'anisochronicité du mouvement est patente, puisque la période du pendule dépend du module Modèle:Mvar, donc de Modèle:Math.

Pour les petites oscillations, Modèle:Mvar est très petit, de sorte que la fonction Modèle:Math est assimilable au sinus. En approximant le sinus de Modèle:Mvar par Modèle:Mvar et en faisant de même pour Modèle:Math, on retrouve la formule classique $\theta ={\theta }_0\sin ({\omega }_{0}t)$.

Quand Modèle:Math tend vers Modèle:Math, Modèle:Mvar tend vers 1 et Modèle:Math tend vers l'infini comme $\ln \left(\frac{4}{\sqrt{1-k^2}}\right)$. Si Modèle:Math est la période $\frac{2\pi }{{\omega }_0}$ du pendule simple pour les petites oscillations, alors, la période du pendule devient :

$T=T_0\frac{2}{\pi }\ln \left(\frac{8}{\pi -{\theta }_0}\right)$.

Quand la limite est atteinte, Modèle:Math est égale à la fonction Modèle:Math. On a alors :

$\theta =2\arcsin (\tanh ({\omega }_{0}t))=4\arctan (\exp ({\omega }_{0}t))-\pi$

qui tend vers Modèle:Mvar quand Modèle:Mvar tend vers l'infini.

Le pendule simple tournoyant

Pendule tournoyant (dans le sens inverse au sens trigonométrique). La courbe paramétrée en haut de l'image représente le mouvement du pendule dans l'espace des phases : $\theta$ en abscisse (proportionnelle à la fonction amplitude Modèle:Mvar de Jacobi), l'axe étant orienté vers la gauche, et $\dot{\theta }$ en ordonnée (proportionnelle à la fonction de Jacobi périodique Modèle:Math).

Dans le cas d'un pendule animé d'une vitesse suffisamment grande pour le faire tournoyer, l'équation du mouvement s'écrit :

${\dot{\theta }}^2=\frac{2g}{l^2}[H-l+l\cos (\theta )]$

où Modèle:Mvar est une constante homogène à une longueur et strictement supérieure à Modèle:Math. La solution Modèle:Mvar s'exprime alors à l'aide de la fonction amplitude de Jacobi sous la forme :

$\theta =2A(\sqrt{\frac{Hg}{2l^2}}t,k)$

où l'on donne au module de la fonction de Jacobi la valeur $k=\sqrt{\frac{2l}{H}}$.

Le mouvement à la Poinsot d'un solide

Modèle:Voir Ce mouvement est celui d'un solide en rotation, pris relativement à son centre d'inertie Modèle:Mvar, quand le moment par rapport à Modèle:Mvar des forces extérieures est nul. Pour un solide quelconque sans symétrie particulière, les équations du mouvement se résolvent à l'aide des fonctions elliptiques de Jacobi. En particulier, les trois composantes du vecteur de rotation instantanée dans le référentiel lié au solide constitué des axes principaux d'inertie sont proportionnelles respectivement à Modèle:Math, Modèle:Math, Modèle:Math.

Propagation d'onde

La fonction $\xi :(x,t)\to {\mathrm{c}\mathrm{n}}^2(B(x-ct))$ permet de modéliser la surélévation de la surface de l'eau au passage d'un soliton, tel qu'un tsunami par exemple, où, à changement d'unité près, Modèle:Mvar est la hauteur de la vague, Modèle:Mvar est l'abscisse où l'on mesure cette hauteur, Modèle:Mvar est le temps, et Modèle:Mvar un paramètre prenant en compte la profondeur du milieu. C'est en effet une des solutions de l'équation de Korteweg-de Vries. L'onde ainsi modélisée s'appelle onde cnoïdale.

Pompage optique

La fonction Modèle:Math intervient pour modéliser la déplétion de la pompe dans le mélange à trois ondes optiques, qui est utilisé dans les Oscillateurs paramétriques optiques.

Voir aussi

Bibliographie

• Modèle:Ouvrage, chapitre 16, par L. M. Milne-Thomson.
• Modèle:Ouvrage
• Modèle:Ouvrage
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Liens externes

• Modèle:Lien web. Parmi les nombreuses propriétés des fonctions elliptiques de Jacobi que ce site donne, on trouvera en particulier au chapitre 22.20 des méthodes de calcul numérique rapide de ces fonctions.