Amibe (mathématiques)

L'amibe de
P(z,w)=w-2z-1.

L'amibe de
P(z, w)=3z²+5zw+w³+1
(on remarque la « vacuole » dans le corps de l'amibe.

L'amibe de
P(z, w) = 1 + z+z² + z³ + z²w³ + 10zw + 12z²w +10z²w².

L'amibe de
P(z, w)=50 z³ +83 z² w+24 z w² +w³+392 z² +414 z w+50 w² -28 z +59 w-100.

En mathématiques, et plus particulièrement en analyse complexe, une amibe est une figure géométrique associée à un polynôme à plusieurs variables complexes. Les amibes ont des applications en géométrie algébrique, en particulier en géométrie tropicale.

Définition

Soit la fonction

$\mathrm{L}\mathrm{o}\mathrm{g}:{(ℂ\mathrm{\setminus }\{0\})}^n\to {ℝ}^n$

définie sur l'ensemble de tous les n-uplets $z=(z_1,z_2,\dots ,z_n)$ de nombres complexes non nuls, et à valeurs dans l'espace euclidien ${ℝ}^n,$ par la formule

$\mathrm{L}\mathrm{o}\mathrm{g}(z_1,z_2,\dots ,z_n)=(\ln |z_1|,\ln |z_2|,\dots ,\ln |z_n|).$

(où ln désigne le logarithme naturel). Si p(z) est un polynôme en $n$ variables complexes, son amibe ${𝒜}_p$ est définie comme l'image de l'ensemble des zéros de p par la fonction Log, c'est-à-dire que :

${𝒜}_p=\{\mathrm{L}\mathrm{o}\mathrm{g}(z):z\in {(ℂ\mathrm{\setminus }\{0\})}^n,p(z)=0\}.$

Les amibes furent définies en 1994 dans un livre de Israel Gelfand, A. V. Kapranov, et Andrei Zelevinsky.

Propriétés

• Toute amibe est un ensemble fermé.
• Toute composante connexe du complémentaire ${ℝ}^n\mathrm{\setminus }{𝒜}_p$ est convexe.
• L'aire d'une amibe d'un polynôme à deux variables est finie.
• Les amibes en dimension 2 ont des « tentacules » infiniment longs, se rapprochant exponentiellement vite de droites asymptotes.

Fonction de Ronkin

La fonction de Ronkin, associée au polynôme p(z=(z₁,...,z_n)) (en n variables complexes), va de ${ℝ}^n$ vers $ℝ$, et est définie par

$N_p(x)=\frac{1}{(2\pi i{)}^n}\underset{{\mathrm{L}\mathrm{o}\mathrm{g}}^{-1}(x)}{\int }\ln |p(z)|\frac{d{z}_1}{z_1}\wedge \frac{d{z}_2}{z_2}\wedge \cdots \wedge \frac{d{z}_n}{z_n},$

où $x$ est le vecteur $x=(x_1,x_2,\dots ,x_n)$, ce qui est équivalent à

$N_p(x)=\frac{1}{(2\pi {)}^n}\underset{[0,2\pi {]}^n}{\int }\ln |p(z)|d{\theta }_{1}d{\theta }_2\cdots d{\theta }_n,$

où $z=(e^{x_1+i{\theta }_1},e^{x_2+i{\theta }_2},\dots ,e^{x_n+i{\theta }_n})$.

La fonction de Ronkin est convexe, et affine sur chaque composante connexe du complémentaire de l'amibe de $p(z)$.

Par exemple, la fonction de Ronkin d'un monôme $p(z)=a{z}_1^{k_1}{z}_2^{k_2}\dots z_n^{k_n}$, avec $a\ne 0$, est

$N_p(x)=\log |a|+k_1{x}_1+k_2{x}_2+\cdots +k_n{x}_n.$

Squelette d'une amibe

Modèle:... Si on remplace dans la définition de la fonction Log le logarithme népérien par le logarithme en base b, et qu'on fait tendre b vers l'infini, on démontre que l'amibe se contracte vers l'ensemble des zéros de la fonction associée à p en restant dans Rⁿ et en remplaçant le polynôme par son analogue tropical, pour lequel les sommes de monômes $a{x}^m{y}^n$ sont remplacées par le maximum d'expressions de la forme $b+mx+ny$ (ces expressions sont les fonctions de Ronkin des monômes du polynôme). Il en résulte que cet ensemble, appelé squelette de l'amibe, est formé de portions de droites.

Voir aussi

Articles connexes

• Mathématiques tropicales

Bibliographie

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Liens externes

Droites tropicales, sur le site Images des mathématiques.