Équation d'Allen-Cahn

Une solution numérique de l'équation d'Allen Cahn à une dimension.

L’équation d'Allen-Cahn est l'équation de réaction-diffusion du processus de séparation de phases dans des systèmes d'alliage à composantes multiples avec des transitions ordre-désordre. Son nom fait référence à ses inventeurs, John W. Cahn et son étudiant Sam Allen.

Formalisme

C'est l'écoulement par gradient sur L² de la fonctionnelle d'énergie libre de Ginzburg-Landau. L'équation est étroitement liée à l'équation de Cahn-Hilliard.

L'équation décrit l'évolution temporelle d'une variable d'état scalaire $\eta$ dans un domaine $\mathrm{\Omega }$ durant un intervalle de temps $𝒯$, et s'écritModèle:, :

$\frac{\partial \eta }{\partial t}=M_{\eta }[\mathrm{div}({\epsilon }_{\eta }^2\mathrm{\nabla }\eta )-f^{\prime }(\eta )]\text{sur}\mathrm{\Omega }\times 𝒯,\eta =\overline{\eta }\text{sur}{\partial }_{\eta }\mathrm{\Omega }\times 𝒯,$

$-({\epsilon }_{\eta }^2\mathrm{\nabla }\eta )\cdot m=q\text{sur}{\partial }_q\mathrm{\Omega }\times 𝒯,\eta ={\eta }_o\text{sur}\mathrm{\Omega }\times \{0\},$

où $M_{\eta }$ est la mobilité, $f$ est un double puits de potentiel, $\overline{\eta }$ est le contrôle de la variable d'état à la portion de la frontière ${\partial }_{\eta }\mathrm{\Omega }$, $q$ est le contrôle des sources à ${\partial }_q\mathrm{\Omega }$, ${\eta }_o$ est la condition initiale, et $m$ est la normale extérieure à $\partial \mathrm{\Omega }$.

Voir également

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