Localisation d'une catégorie

En mathématiques, et plus précisément en théorie des catégories, la localisation de catégorie est une construction algébrique permettant d'inverser une certaine classe de morphismes. Elle a notamment des applications en topologie algébrique et en géométrie algébrique.

Définition

Pour une catégorie $𝒞$ et une classe de morphismes $𝒲\subset \mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{r}(𝒞)$, la localisation $𝒞[{𝒲}^{-1}]$ de $𝒞$ par rapport à $𝒲$ est la catégorie universelle où tous les morphismes de $𝒲$ sont inversibles.

Plus précisément, la localisation de

$𝒞$

par rapport à

$𝒲$

est la donnée d'une catégorie

$𝒞[{𝒲}^{-1}]$

et d'un foncteur

$l_{𝒲}:𝒞\to 𝒞[{𝒲}^{-1}]$

tel que

pour tout $w\in 𝒲$, $l_{𝒲}(w)$ est inversible dans $𝒞[{𝒲}^{-1}]$

et tel que pour toute catégorie

$𝒟$

et foncteur

$f:𝒞\to 𝒟$

satisfaisant

pour tout $w\in 𝒲$, $f(w)$ est inversible dans $𝒟,$

il existe un unique foncteur

$g:𝒞[{𝒲}^{-1}]\to 𝒟$

tel que

$f=g\circ l_{𝒲}$

. Cette propriété garantit l'unicité (à isomorphisme près) de la localisation, si elle existe.

Construction

Catégories de zig-zags

Si $𝒲$ est un ensemble de morphismes, il est possible de construire une localisation $𝒞[{𝒲}^{-1}]$ de $𝒞$ par rapport à $𝒲$ :

• les objets de $𝒞[{𝒲}^{-1}]$ sont les mêmes que ceux de $𝒞$
• les morphismes entre deux objets $A$ et $B$ sont des classes d'équivalence de « zig-zags » dans $𝒞$ : $A\stackrel{f_1}{\to }{X}_1\stackrel{w_1}{\leftarrow }{X}_2\stackrel{f_2}{\to }\cdots \stackrel{w_{n-1}}{\leftarrow }{X}_{p-1}\stackrel{f_n}{\to }{X}_p\stackrel{w_n}{\leftarrow }B$ avec $w_1,\dots ,w_n\in 𝒲$ et $f_1,\dots ,f_n$ des morphismes quelconques de $𝒞$. Un tel « zig-zag » représente la composée $w_n^{-1}\circ f_n\circ w_{n-1}^{-1}\cdots f_2\circ w_1^{-1}\circ f_1$.

Calcul des fractions (à gauche)

Une classe de morphismes $𝒲\subset \mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{r}(𝒞)$ admet un calcul des fractions à gauche si

• il contient les morphismes identités : $\mathrm{\forall }X\in \mathrm{o}\mathrm{b}\mathrm{j}(𝒞),{\text{id}}_X\in 𝒲$,
• il est stable par composition : $\mathrm{\forall }u,v\in 𝒲,u\circ v\in 𝒲$,
• tout diagramme $X^{\prime }\stackrel{u}{\leftarrow }X\stackrel{f}{\to }Y$ dans $𝒞$, avec $u\in 𝒲$ peut être complété en un carré commutatif, avec $v\in 𝒲$ : $\begin{array}{ccc}X& \stackrel{f}{\to }& Y\\ u\downarrow & & \downarrow v{\displaystyle }\\ X^{\prime }& \stackrel{g}{\to }& Y\end{array}$,
• pour tous morphismes parallèles $X\stackrel{f}{\underset{g}{\rightrightarrows }}Y$ tel qu'il existe $u\in 𝒲$ tel que $fu=gu$, alors il existe $v\in 𝒲$ tel que $vf=vg$.

Si $𝒲$ admet un calcul des fractions, alors la localisation de $𝒞$ par rapport à $𝒲$ existe et admet une présentation simple :

• les objets de $𝒞[{𝒲}^{-1}]$ sont les mêmes que ceux de $𝒞$ ;
• les morphismes entre deux objets $A$ et $B$ sont des classes d'équivalence de diagrammes dans $𝒞$ de la forme : $A\stackrel{f}{\to }X\stackrel{w}{\leftarrow }B$ avec $w\in 𝒲$ et $f$ des morphismes quelconques de $𝒞$. Un tel diagramme représente la composée $f\circ w^{-1}$ ;
• deux tels diagrammes $A\stackrel{f_1}{\to }{X}_1\stackrel{w_1}{\leftarrow }B$ et $A\stackrel{f_2}{\to }{X}_2\stackrel{w_2}{\leftarrow }B$ sont équivalents s'il existe $X_1\stackrel{v_1}{\to }{X}_3$ et $X_2\stackrel{v_2}{\to }{X}_3$ tels que $v_1\circ w_1=v_2\circ w_2$ et $v_1\circ f_1=v_2\circ f_2$. Cette relation d'équivalence est similaire à celle intervenant dans la construction du corps des fractions ou, plus généralement, dans une localisation d'un anneau commutatif.

Exemples et applications

• La catégorie homotopique associée à un modèle de Quillen est sa localisation par rapport aux équivalences faibles.
• Étant donné un espace topologique $X$, la catégorie des faisceaux $\mathrm{S}\mathrm{h}(X)$ peut être obtenue comme une certaine localisation de la catégorie des préfaisceaux $\mathrm{P}\mathrm{S}\mathrm{h}(X)$, tel que la faisceautisation soit le foncteur de localisation.
• La localisation d'un anneau commutatif est un cas particulier de localisation d'une catégorie, où les anneaux sont vus comme des catégories (préadditive) à un seul objet.