Fonction de Debye

En mathématiques, les fonctions de Debye, du nom de Peter Debye, sont des fonctions réelles utilisées en thermodynamique, comme dans les calculs analytiques des intégrales de radiation ou des capacités thermiques de ce qu'on appelle de nos jours le modèle de Debye.

Définitions

La définition usuelle des fonctions de Debye est définie pour tout entier positif Modèle:Mvar :

$D_n(x)=\frac{n}{x^n}\underset{0}{\overset{x}{\int }}\frac{t^n}{{\mathrm{e}}^t-1}\mathrm{d}t.$

Debye a utilisé la fonction Modèle:Math pour le calcul de capacités thermiques en 1912.

On utilise également la fonction complémentaire :

$\overline{D_n}(x)=\frac{n}{x^n}\underset{x}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{t^n}{{\mathrm{e}}^t-1}\mathrm{d}t.$

Une définition plus complète remplace l'entier Modèle:Mvar par un réel Modèle:Mvar strictement positif, de sorte que :

$D_p(x)=\frac{p}{x^p}\underset{0}{\overset{x}{\int }}\frac{t^p}{{\mathrm{e}}^t-1}\mathrm{d}t.$

ou peut inclure un paramètre Modèle:Mvar positif :

$D_{n,\beta }(x)=\frac{n}{x^n}\underset{0}{\overset{x}{\int }}\frac{t^n}{({\mathrm{e}}^t-1{)}^{\beta }}\mathrm{d}t.$

Propriétés

Relations

On a :

$\mathrm{\forall }p>0,D_p(x)+\overline{D_p}(x)=\frac{p}{x^p}\mathrm{\Gamma }(p+1)\zeta (p+1).$

Relations aux autres fonctions

Les fonctions de Debye sont fortement reliées aux fonctions polylogarithmes, les unes apparaissant dans les développements en série des autres (Modèle:Harvsp, § 27.1) :

$\mathrm{\forall }n\in {\mathbb{N}}^{*},{\mathrm{Li}}_n({\mathrm{e}}^x)=\sum _{k=0}^{n-1}{D}_{n-k}(-x)\frac{x^k}{k!},D_n(x)=\sum _{k=0}^{n-1}{\mathrm{Li}}_{n-k}({\mathrm{e}}^{-x})\frac{x^k}{k!}(n=1,2,3,\dots )$

Développement en séries

Les fonctions de Debye ont pour développement en série entièreModèle:,

$\mathrm{\forall }x\in ,D_n(x)=1-\frac{n}{2(n+1)}x+n\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{B_{2k}}{(2k+n)(2k)!}{x}^{2k},|x|<2\pi ,n\ge 1,$

où Modèle:Mvar est le nModèle:E nombre de Bernoulli.

On a également

$\mathrm{\forall }x\in ,D_{n,\beta }(x)=\frac{n}{x^n}\sum _{k=0}^{+\mathrm{\infty }}(-1{)}^k\frac{(-1{)}^k\mathrm{\Gamma }(\beta +k)}{k!\mathrm{\Gamma }(\beta )}\frac{\gamma (n+1,(\beta +k)x)}{(\beta +k{)}^{n+1}}$

où Modèle:Math désigne la fonction gamma incomplète.

Limites

Toutes les fonctions de Debye tendent vers 1 en 0 :

$\mathrm{\forall }n\in {\mathbb{N}}^{*},\underset{x\to 0}{\lim }{D}_n(x)=1.$

Avec Modèle:Math la fonction Gamma d'Euler et Modèle:Math la fonction zêta de Riemann, on a,

$\mathrm{\forall }n\in {\mathbb{N}}^{*},D_n(x)=\frac{n}{x^n}\underset{0}{\overset{x}{\int }}\frac{t^n\mathrm{d}t}{{\mathrm{e}}^t-1}{\sim }_{+\mathrm{\infty }}\frac{n}{x^n}\mathrm{\Gamma }(n+1)\zeta (n+1)$

Dérivée

La dérivée vérifie l'équation fonctionnelle

$\mathrm{\forall }x>0,\mathrm{\forall }n\in {\mathbb{N}}^{*},x{D}_n^{\prime }(x)=n(B(x)-D_n(x)),$

avec $B(x)=x/({\mathrm{e}}^x-1)$, la fonction de Bernoulli.

Applications en physique du solide

Modèle de Debye

Le modèle de Debye a une densité d'états vibrationnels

$g_{\mathrm{D}}(\omega )=\frac{9{\omega }^2}{{\omega }_{\mathrm{D}}^3}\mathrm{p}\mathrm{o}\mathrm{u}\mathrm{r}0\le \omega \le {\omega }_{\mathrm{D}}$

avec Modèle:Math la fréquence de Debye.

Énergie interne et capacité thermique

En insérant la densité Modèle:Mvar dans l'énergie interne

$U=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\mathrm{d}\omega g(\omega )\hslash \omega n(\omega )$

avec la distribution de Bose-Einstein

$n(\omega )=\frac{1}{\exp (\hslash \omega /k_{\mathrm{B}}T)-1}$.

on obtient

$U=3k_{\mathrm{B}}T{D}_3(\hslash {\omega }_{\mathrm{D}}/k_{\mathrm{B}}T)$.

La capacité thermique est la dérivée vue au-dessus.

Déplacement quadratique moyen

L'intensité de la diffraction des rayons X ou la diffraction des neutrons au nombre d'onde Modèle:Mvar est donnée par le facteur de Debye-Waller ou le Modèle:Lien. Pour des systèmes isotropes, il prend la forme

$\exp (-2W(q))=\exp (-q^2⟨u_x^2⟩$).

Dans cette expression, le déplacement quadratique moyen renvoie à une seule composante cartésienne Modèle:Mvar du vecteur Modèle:Math qui décrit le déplacement d'atome à partir de leurs positions d'équilibre. En supposant l'harmonicité en développant les modes normaux, on retrouve

$2W(q)=\frac{{\hslash }^2{q}^2}{6M{k}_{\mathrm{B}}T}\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\mathrm{d}\omega \frac{k_{\mathrm{B}}T}{\hslash \omega }g(\omega )\coth \frac{\hslash \omega }{2k_{\mathrm{B}}T}=\frac{{\hslash }^2{q}^2}{6M{k}_{\mathrm{B}}T}\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\mathrm{d}\omega \frac{k_{\mathrm{B}}T}{\hslash \omega }g(\omega )[\frac{2}{\exp (\hslash \omega /k_{\mathrm{B}}T)-1}+1].$

En insérant les densités d'état depuis le modèle de Debye, on trouve

$2W(q)=\frac{3}{2}\frac{{\hslash }^2{q}^2}{M\hslash {\omega }_{\mathrm{D}}}[2\left(\frac{k_{\mathrm{B}}T}{\hslash {\omega }_{\mathrm{D}}}\right)D_1\left(\frac{\hslash {\omega }_{\mathrm{D}}}{k_{\mathrm{B}}T}\right)+\frac{1}{2}]$.

Avec le développement en série entière de Modèle:Math, on trouve le déplacement quadratique moyen à hautes températures, qui dépend linéairement de la température

$2W(q)=\frac{3k_{\mathrm{B}}T{q}^2}{M{\omega }_{\mathrm{D}}^2}$.

L'absence de $\hslash$ indique qu'il s'agit d'un résultat de physique classique. Puisque Modèle:Math tend vers 0 pour $x\to \mathrm{\infty }$ on trouve pour Modèle:Math (énergie du point zéro).

$2W(q)=\frac{3}{4}\frac{{\hslash }^2{q}^2}{M\hslash {\omega }_{\mathrm{D}}}.$

Liens externes

• Modèle:Handbook of Mathematical Functions (Abramowitz et Stegun), §27, p.998
• Modèle:Mathworld, (la définition n'inclut pas le préfacteur Modèle:Math)