Théorème de Carlson

En mathématiques, et plus précisément en analyse complexe, le théorème de Carlson est un théorème d'unicité découvert par Modèle:Lien. De manière informelle, il énonce que deux fonctions analytiques distinctes qui ne croissent pas trop vite ne peuvent pas coïncider sur les entiers. Le théorème est une conséquence du principe de Phragmén-Lindelöf, lui-même corollaire du principe du maximum.

Le théorème de Carlson est usuellement invoqué pour démontrer l'unicité du développement en série de Newton. Il possède des généralisations pour d'autres développements.

Enoncé

Soit Modèle:Formule satisfaisant les trois conditions suivantes : les deux premières portent sur la croissance asymptotique de Modèle:Formule , tandis que la troisième assure l'annulation de Modèle:Formule sur les entiers positifs.

• Modèle:Formule est une fonction entière de type exponentielle, i.e.

$|f(z)|\le C{e}^{\tau |z|},z\in ℂ$

Pour des réels Modèle:Formule, Modèle:Formule donnés.

• Il existe $c<\pi$ tel que

$|f(iy)|\le C{e}^{c|y|},y\in ℝ$

• Modèle:Formule pour tout Modèle:Formule positif.

Alors Modèle:Formule est identiquement nulle.

Finesse des hypothèses

Première hypothèse

La première hypothèse peut-être affaiblie comme suit : Modèle:Formule est analytique sur le plan Modèle:Formule, continue sur Modèle:Formule, et satisfaisant

$|f(z)|\le C{e}^{\tau |z|},\mathrm{Re}z>0$

pour Modèle:Formule, Modèle:Formule réels.

Deuxième hypothèse

Pour vérifier que la deuxième hypothèse ne peut pas être affaiblie, considérons $f(z)=\sin (\pi z)$. Elle s'annule sur les entiers ; cependant, sa croissance sur l'axe imaginaire est exponentielle avec $c=\pi$, et est non identiquement nulle.

Troisième hypothèse

Un résultat dû à Rubel (1956), affaiblie cette dernière condition Modèle:Formule. Plus précisément, Rubel à montrer que le théorème reste valide si Modèle:Formule ne s'annule que sur un ensemble $A\subset \mathbb{N}$ de densité supérieure égale à 1, i.e.

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{lim\; sup}}\frac{|A\cap \{0,1,\cdots ,n-1\}|}{n}=1.$

Cette condition est optimale.

Applications

Soit Modèle:Formule une fonction possédant des différences finies ${\mathrm{\Delta }}^{n}f(0)$. Considérons la série de Newton

$g(z)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}(\genfrac{}{}{0ex}{}{z}{n}){\mathrm{\Delta }}^{n}f(0)$

avec $(\genfrac{}{}{0ex}{}{z}{n})$ le coefficient binomial et ${\mathrm{\Delta }}^{n}f(0)$ la Modèle:Formule-ième différence itérée. Par construction, Modèle:Formule pour tous Modèle:Formule positif, montrant que Modèle:Formule. C'est la troisième hypothèse du théorème; si Modèle:Formule obéit aux deux autres, alors Modèle:Formule est nulle, et Modèle:Formule est déterminée par sa série de Newton.

Articles connexes

• Série de Newton
• Théorème de Mahler

Références

• F. Carlson, Sur une classe de séries de Taylor, (1914) Dissertation, Uppsala, Sweden, 1914.
• Modèle:Article, cor 21(1921) Modèle:P..
• Modèle:Article
• E.C. Titchmarsh, The Theory of Functions (Modèle:2d Ed) (1939) Oxford University Press (See section 5.81)
• R. P. Boas, Jr., Entire functions, (1954) Academic Press, New York.
• Modèle:Article
• Modèle:Article