Théorème de Mahler

Le théorème de Mahler offre un analogue du développement en série de Taylor pour les fonctions continues à valeurs p-adiques et dont la variable prend des valeurs p-adiques. Le théorème a été démontré par Kurt Mahler.

En combinatoire, le symbole de Pochhammer représente la factorielle indexée :

$(x{)}_k=x(x-1)(x-2)\cdots (x-k+1)$.

On note $\mathrm{\Delta }$ l'opérateur de différence défini par

$(\mathrm{\Delta }f)(x)=f(x+1)-f(x)$.

Alors nous avons

$\mathrm{\Delta }(x{)}_n=n(x{)}_{n-1}$

c’est-à-dire que le lien de parenté entre l'opérateur $\mathrm{\Delta }$ et cette suite de polynômes est analogue au lien entre la différentiation réelle et la suite dont le n-ième terme est $x^n$.

Contrairement au cas des séries à valeurs complexes où les conditions sont très contraignantes (cf. théorème de Carlson), on a seulement besoin de la continuité.

Si $f$ est un polynôme à coefficients dans n'importe quel corps commutatif de caractéristique nulle, l'identité reste valable.