Espace de Lorentz

En mathématiques, un espace de Lorentz, noté $L^{p,q}$ est une généralisation de la notion d'espace de Lebesgue (notés $L^p$).

Comme les espaces $L^p$, un espace de Lorentz est caractérisé par sa norme (techniquement une quasi-norme) qui encode des informations sur la masse d'une fonction, de manière analogue à la norme $L^p$. La norme de Lorentz offre un contrôle plus strict sur les deux composantes qui forment la masse d'une fonction (son étendue et sa norme ponctuelle) que les normes $L^p$. La norme de Lorentz est invariante sous des réarrangements arbitraires des valeurs d'une fonction.

Définition

Par une quasi-norme

L'espace de Lorentz sur un espace mesurable $(X,\mu )$ est défini l'espace des fonctions mesurables à valeurs complexes $f$ sur $X$ tel que la quasinorme suivante soit finie

$\Vert f{\Vert }_{L^{p,q}(X,\mu )}=p^{\frac{1}{q}}{\Vert t\mu \{|f|\ge t{\}}^{\frac{1}{p}}\Vert }_{L^q({𝐑}^{+},\frac{dt}{t})}$

où $0<p<\mathrm{\infty }$ et $0<q\le \mathrm{\infty }$ . Ainsi, lorsque $q<\mathrm{\infty }$

$\Vert f{\Vert }_{L^{p,q}(X,\mu )}=p^{\frac{1}{q}}{\left(\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{t}^q\mu {\{x:|f(x)|\ge t\}}^{\frac{q}{p}}\frac{dt}{t}\right)}^{\frac{1}{q}}={\left(\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\right(\tau \mu \{x:|f(x){|}^p\ge \tau \}{)}^{\frac{q}{p}}\frac{d\tau }{\tau })}^{\frac{1}{q}}.$

et quand $q=\mathrm{\infty }$ ,

$\Vert f{\Vert }_{L^{p,\mathrm{\infty }}(X,\mu )}^p=\underset{t>0}{\sup }\left(t^p\mu \{x:|f(x)|>t\}\right).$

Il est également classique de fixer $L^{\mathrm{\infty },\mathrm{\infty }}(X,\mu )=L^{\mathrm{\infty }}(X,\mu )$ .

Par le réarrangement décroissant

La quasinorme de Lorentz est invariante par réarrangement des valeurs de la fonction $f$. En particulier, étant donné une fonction mesurable à valeurs complexes $f$ définie sur un espace mesurable, $(X,\mu )$, son réarrangement décroissant, $f^{\ast }:[0,\mathrm{\infty }[\to [0,\mathrm{\infty }]$ est défini par

$f^{\ast }(t)=\inf \{\alpha \ge 0:{\mu }_f(\alpha )\le t\}$

où $d_f$ est la fonction de distribution de $f$, donnée par

${\mu }_f(\alpha )=\mu (\{x\in X:|f(x)|>\alpha \})$,

Les deux fonctions $|f|$ et $f^{\ast }$ sont équimesurables, c'est-à-dire que$\mu (\{x\in X:|f(x)|>\alpha \})=\lambda (\{t>0:f^{\ast }(t)>\alpha \}),\alpha >0,$

où $\lambda$ est la mesure de Lebesgue sur $ℝ$. Le réarrangement symétrique décroissant associé, qui est également équimesurable avec $f$, est défini par $ℝ\ni t\mapsto \frac{1}{2}{f}^{\ast }(|t|).$

Compte tenu de ces définitions, pour $0<p<\mathrm{\infty }$ et $0<q\le \mathrm{\infty }$, les quasinormes de Lorentz sont données par

$\Vert f{\Vert }_{L^{p,q}}=\{\begin{array}{cc}{\left(\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{(t^{\frac{1}{p}}{f}^{\ast }(t))}^q\frac{dt}{t}\right)}^{\frac{1}{q}}& q\in (0,\mathrm{\infty }),\\ \sup {\mathrm{\backslash limits}}_{t>0}{t}^{\frac{1}{p}}{f}^{\ast }(t)& q=\mathrm{\infty }.\end{array}$

Structure

Espace d'interpolation

Les espaces de Lorentz généralisent la notion d'espace $L^p$ au sens où, pour tout $p$, $L^{p,p}=L^p$. De plus, l'espace $L^{p,\mathrm{\infty }}$ coïncide avec l'espace $L^p$ faible (espace de Marcinkiewicz). Ce sont des espaces quasi-Banach (c'est-à-dire des espaces quasi-normés qui sont aussi complets) et sont normables pour $1<p<\mathrm{\infty }$ et $1\le q\le \mathrm{\infty }$ . Lorsque $p=1$, $L^{1,1}=L^1$ est muni d'une norme, mais il n'est pas possible de définir une norme équivalente à la quasi-norme de $L^{1,\mathrm{\infty }}$. En effet, si l'on définit les fonctions $f$ et $g$

$f(x)=\frac{1}{x}{\chi }_{(0,1)}(x)\text{et}g(x)=\frac{1}{1-x}{\chi }_{(0,1)}(x),$

dont la quasi-norme $L^{1,\mathrm{\infty }}$ vaut 1, alors que la quasi-norme de leur somme $f+g$ vaut 4.

L'espace $L^{p,q}$ est inclus dans $L^{p,r}$ dès que $q<r$ . Les espaces de Lorentz sont des espaces d'interpolation entre $L^1$ et $L^{\mathrm{\infty }}$ .

Espace dual

Si $(X,\mu )$ est un espace de mesure σ-fini non atomique, alors

1. $(L^{p,q}{)}^{*}=\{0\}$ pour $0<p<1$, ou $1=p<q<\mathrm{\infty }$ ;
2. $(L^{p,q}{)}^{*}=L^{p^{\prime },q^{\prime }}$ pour $1<p<\mathrm{\infty },0<q\le \mathrm{\infty }$, ou $0<q\le p=1$ ;
3. $(L^{p,\mathrm{\infty }}{)}^{*}\ne \{0\}$ pour $1\le p\le \mathrm{\infty }$.

où $p^{\prime }$ et $q^{\prime }$ sont les exposants conjugués de $p$ et $q$. On a par exemple $p^{\prime }=p/(p-1)$ pour $1<p<\mathrm{\infty }$, $p^{\prime }=\mathrm{\infty }$ pour $0<p\le 1$, et ${\mathrm{\infty }}^{\prime }=1$ .

Propriétés

Inégalité de Hölder

$\Vert fg{\Vert }_{L^{p,q}}\le A_{p_1,p_2,q_1,q_2}\Vert f{\Vert }_{L^{p_1,q_1}}\Vert g{\Vert }_{L^{p_2,q_2}}$ où $0<p,p_1,p_2<\mathrm{\infty }$, $0<q,q_1,q_2\le \mathrm{\infty }$, $1/p=1/p_1+1/p_2$, et $1/q=1/q_1+1/q_2$ .

Caractérisation dyadique

Les éléments suivants sont équivalents pour $0<p\le \mathrm{\infty },1\le q\le \mathrm{\infty }$ .

1. $\Vert f{\Vert }_{L^{p,q}}\le A_{p,q}C$ .
2. $f=\sum _{n\in \mathbb{Z}}{f}_n$ où $f_n$ a un support disjoint avec la mesure $\le 2^n$, $0\le H_{n+1}\le |f_n|\le H_n$ presque partout dans le support de $f_n$, et $\Vert H_n{2}^{n/p}{\Vert }_{{\ell }^q(\mathbb{Z})}\le A_{p,q}C$ .
3. $|f|\le \sum _{n\in \mathbb{Z}}{H}_n{\chi }_{E_n}$ presque partout où $\mu (E_n)\le A_{p^{\prime },q}{2}^n$ et $\Vert H_n{2}^{n/p}{\Vert }_{{\ell }^q(\mathbb{Z})}\le A_{p,q}C$ .

Articles connexes

• Espace d'interpolation
• Inégalité de Hardy-Littlewood