Inégalité de Kato

En analyse fonctionnelle, l'inégalité de Kato est une inégalité de distribution pour l'opérateur de Laplace ou dans le cas général certains opérateurs elliptiques. Elle a été prouvée en 1972 par le mathématicien japonais Tosio Kato.

On traite ici le cas particulier de l'opérateur de Laplace.

Inégalité de Kato

Soit $\mathrm{\Omega }\subset {ℝ}^d$ un ensemble ouvert et borné et $f\in L_{\mathrm{loc}}^1(\mathrm{\Omega })$ , de sorte que $\mathrm{\Delta }f\in L_{\mathrm{loc}}^1(\mathrm{\Omega })$. On a alorsModèle:,

$\mathrm{\Delta }|f|\ge \mathrm{Re}((\mathrm{sgn}\bar{f})\mathrm{\Delta }f)$ in ${𝒟}^{\prime }(\mathrm{\Omega })$,

où

$\mathrm{sgn}\bar{f}=\{\begin{array}{cc}\frac{\overline{f(x)}}{|f(x)|}& \text{si }f\ne 0\\ 0& \text{si }f=0.\end{array}$

Explications

• $L_{\mathrm{loc}}^1$ est espace des fonctions localement intégrable.