Inégalité 4/3 de Littlewood

Modèle:Ébauche En analyse mathématique, l'inégalité 4/3 de Littlewood, portant le nom de John Edensor Littlewood, est une inégalité valable pour toute forme bilinéaire à valeurs complexes définie sur $c_0$, l'espace de Banach des suites réelles ou complexes qui convergent vers zéro.

Plus précisément, soit $B:c_0\times c_0\to ℂ$ ou $ℝ$ une forme bilinéaire. On a alors :

${(\sum _{i,j=1}^{\mathrm{\infty }}|B(e_i,e_j){|}^{4/3})}^{3/4}⩽\sqrt{2}\Vert B\Vert ,$

où

$\Vert B\Vert =\sup \{|B(x_1,x_2)|:\Vert x_i{\Vert }_{\mathrm{\infty }}⩽1\}.$

L'exposant 4/3 est optimal, c'est-à-dire qu'il ne peut pas être remplacé par un exposant plus petit. Il est également connu que pour des suites réelles, la constante $\sqrt{2}$ est optimale aussi.

Généralisation

Inégalité de Bohnenblust-Hille

L'inégalité de Bohnenblust-Hille est une généralisation multilinéaire de l'inégalité de Littlewood. Elle exprime que pour toute application $m$-linéaire $M:c_0\times \cdots \times c_0\to ℂ$, on a :

${(\sum _{i_1,\dots ,i_m=1}^{\mathrm{\infty }}|M(e_{i_1},\dots ,e_{i_m}){|}^{2m/(m+1)})}^{(m+1)/(2m)}\le 2^{(m-1)/2}\Vert M\Vert ,$

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