Théorème de Kosnita
En géométrie moderne du triangle, le théorème de Kosnita est une propriété de certains cercles associés à un triangle quelconque.
Soit un triangle, le centre de son cercle circonscrit et les centres des cercles circonscrits des triangles , et respectivement. Le théorème affirme que les trois droites , et sont concourantes. Ce résultat a été établi par le mathématicien roumain Modèle:Lien (1910-1962)[1], mais aurait été d'abord remarqué par Joseph Neuberg dans son Mémoire sur le tétraèdre en 1884[2]Modèle:,[3].
Ce point de concours est depuis appelé point de Kosnita du triangle, nom donné par John Rigby, et le triangle appelé triangle de Kosnita. Le nombre de Kimberling du point de Kosnita est [4].
Propriétés
- Le point de Kosnita est le conjugué isogonal du centre du cercle d'Euler[5]Modèle:,[6]. Ses coordonnées trilinéaires sont donc les inverses de celle du centre du cercle d'Euler, soit :
- On note KModèle:Ind, l'image du point de Kosnita par la symétrie d'axe (BC), et on construit de façon cyclique KModèle:Ind et KModèle:Ind. Ensuite, on construit KModèle:IndModèle:', l'image du point de Kosnita par symétrie de centre le milieu de [KModèle:IndKModèle:Ind], puis de même KModèle:IndModèle:' et KModèle:IndModèle:'. Alors (AKModèle:IndModèle:') est perpendiculaire à (BC), (BKModèle:IndModèle:') est perpendiculaire à (CA), et (CKModèle:IndModèle:') est perpendiculaire à (AB). On en déduit que les triangles ABC et KModèle:IndModèle:'KModèle:IndModèle:'KModèle:IndModèle:' sont homologues par rapport à l'orthocentre du triangle de référence.
- Tout triangle et son triangle de Kosnita sont orthologiques.
Extensions
Ce théorème est un cas particulier d'un théorème de Thanh Oai Dao sur six centres circonscrits associés à un hexagone inscriptible (dont les six sommets sont cocycliques[7]Modèle:,[8]Modèle:,[9]Modèle:,[10]Modèle:,[11]Modèle:,[12]Modèle:,[13]).
Références
Modèle:Traduction/Référence Modèle:Références