Coordonnées trilinéaires

Les coordonnées trilinéaires d'un point intérieur sont ici données par les distances Modèle:Math ; les coordonnées trilinéaires sont alors Modèle:Math pour toute constante Modèle:Mvar strictement positive.

En géométrie, les coordonnées trilinéaires d'un point relativement à un triangle donné, notées Modèle:Math sont, à une constante multiplicative strictement positive près, les distances algébriques relativement aux côtés (étendus) du triangle.

Pour un triangle Modèle:Mvar, le rapport Modèle:Math est le rapport des distances algébriques du point aux côtés Modèle:Math et Modèle:Math respectivement et ainsi de suite par permutation sur Modèle:Math.

Le signe d'une coordonnée trilinéaire indique si le point est intérieur au triangle par rapport à un côté : par exemple, la coordonnée Modèle:Mvar est positive s'il se trouve du même côté que Modèle:Mvar par rapport à la droite Modèle:Math. Il est ainsi impossible que les trois coordonnées trilinéaires soient négatives.

Détermination des coordonnées trilinéaires

L'aire algébrique d'un triangle Modèle:Mvar est $S_{XYZ}=\frac{1}{2}\det (\overrightarrow{XY},\overrightarrow{XZ})$, positive si Modèle:Mvar est direct, négative sinon. Or $S_{XYZ}=\frac{1}{2}YZ\times h$ où Modèle:Mvar est la distance algébrique de Modèle:Mvar à la droite Modèle:Math orientée de Modèle:Mvar vers Modèle:Mvar. Pour un triangle Modèle:Mvar de sens direct et de côtés de longueur Modèle:Math, les coordonnées trilinéaires d'un point Modèle:Mvar sont donc :

$(\frac{\det (\overrightarrow{MB},\overrightarrow{MC})}{a}:\frac{\det (\overrightarrow{MC},\overrightarrow{MA})}{b}:\frac{\det (\overrightarrow{MA},\overrightarrow{MB})}{c})$

ou

$(\frac{S_{MBC}}{a}:\frac{S_{MCA}}{b}:\frac{S_{MAB}}{c})$.

Le triplet $(S_{MBC},S_{MCA},S_{MAB})$ étant un triplet de coordonnées barycentriques de Modèle:Mvar, on en déduit que si Modèle:Mvar a pour coordonnées trilinéaires Modèle:Math, il a pour coordonnées barycentriques Modèle:Math.

Propriétés

Pour un triangle Modèle:Mvar donné et un point défini par ses coordonnées trilinéaires $M(x:y:z)$, on a

• le point de coordonnées trilinéaires $M^{*}(yz:zx:xy)$ est le conjugué isogonal de Modèle:Math.
• l'intersection de la cévienne partant de Modèle:Mvar et passant par Modèle:Mvar a pour coordonnées trilinéaires $A_M=AM\cap BC=(0:y:z)$; de façon similaire, les deux autres sommets du triangle cévien ont pour coordonnées trilinéaires $B_M=BM\cap CA=(x:0:z)$ et $C_M=CM\cap AB=(x:y:0)$
• le triangle formé par les points de coordonnées trilinéaires respectives $(-x:y:z),(x:-y:z),(x:y:-z)$ est le triangle anticévien de Modèle:Mvar par rapport à Modèle:Mvar.

Exemples

Voici les coordonnées trilinéaires de quelques points remarquables du triangle :

• $A(1:0:0)$
• $B(0:1:0)$
• $C(0:0:1)$
• milieu de $[BC](0:ac:ab)$
• milieu de $[CA](bc:0:ba)$
• milieu de $[AB](cb:ca:0)$
• centre du cercle inscrit $I(1:1:1)$
• centre de gravité $G(bc:ca:ab)\text{ ou }(1/a:1/b:1/c)\text{ ou }(1/\sin \hat{A}:1/\sin \hat{B}:1/\sin \hat{C})$
• centre du cercle circonscrit $O(\cos \hat{A}:\cos \hat{B}:\cos \hat{C})$
• orthocentre $H(1/\cos \hat{A}:1/\cos \hat{B}:1/\cos \hat{C})\text{ ou }(\cos \hat{B}\cos \hat{C}:\cos \hat{C}\cos \hat{A}:\cos \hat{A}\cos \hat{B})$
• centre du cercle d'Euler $\mathrm{\Omega }(\cos (\hat{B}-\hat{C}):\cos (\hat{C}-\hat{A}):\cos (\hat{A}-\hat{B}))$
• point de Lemoine $K(a:b:c)\text{ ou }(\sin \hat{A}:\sin \hat{B}:\sin \hat{C}).$

On trouvera dans l'encyclopédie des centres de triangle (ETC) les coordonnées trilinéaires de milliers de points remarquables du triangle.

Équation de droite à partir de coordonnées trilinéaires

Pour un point de coordonnées trilinéaires Modèle:Math, l'équation

$x\alpha +y\beta +c\gamma =0$

est l'équation d'une droite, appelée droite centrale liée au point considéré.

Pour deux points de coordonnées trilinéaires Modèle:Math et Modèle:Math, l'équation de la droite passant par ces deux points est donnée par :

$\left|\begin{array}{ccc}x& y& z\\ x^{\prime }& y^{\prime }& z^{\prime }\\ \alpha & \beta & \gamma \end{array}\right|=0$

Voir aussi

Articles connexes

• Coordonnées barycentriques

Liens externes

• Modèle:MathWorld