Droite centrale

En géométrie, les droites centrales sont des droites particulières liées à un triangle plan. Ces droites sont directement liées à l'un des centres du triangle, qui sert de base pour exprimer l'équation de la droite en coordonnées trilinéaires. Le concept de droite centrale a été introduit par Clark Kimberling dans un article de 1994Modèle:,.

Définition

Soit Modèle:Mvar un triangle du plan et Modèle:Math les coordonnées trilinéaires d'un point arbitraire du plan de ce triangle.

Une droite dans le plan du triangle Modèle:Mvar dont l'équation en coordonnées trilinéaires est de la forme

$f(a,b,c)x+g(a,b,c)y+h(a,b,c)z=0$

où le point de coordonnées trilinéaires Modèle:Math est un centre du triangle, est une droite centrale dans le plan du triangle Modèle:Mvar relativement au triangle Modèle:MvarModèle:,Modèle:,.

Droites centrales comme polaires trilinéaires

La relation géométrique entre une droite centrale et son centre du triangle associé peut être exprimée avec les concepts de polaires trilinéaires et les conjugués isogonaux.

Soit Modèle:Math un centre du triangle. La droite dont l'équation est

$\frac{x}{u(a,b,c)}+\frac{y}{v(a,b,c)}+\frac{z}{w(a,b,c)}=0$

est la polaire trilinéaire de Modèle:MvarModèle:,. De plus, le point Modèle:Math est le conjugué isogonal de Modèle:Mvar.

Ainsi, la droite centrale donnée par l'équation

$f(a,b,c)x+g(a,b,c)y+h(a,b,c)z=0$

est la polaire trilinéaire du conjugué isogonal du centre du triangle défini par les coordonnées trilinéaires Modèle:Math.

Construction de droites centrales

Construction de la droite centrale associée au centre Modèle:Mvar. Le point Modèle:Mvar est le conjugué isogonal de Modèle:Mvar.

Soit Modèle:Mvar un centre du triangle Modèle:Mvar. On trace les droites Modèle:Mvar, Modèle:Mvar et Modèle:Mvar, ainsi que leurs images respectives par symétrie avec les bissectrices internes en Modèle:Mvar, Modèle:Mvar, Modèle:Mvar. Les droites images sont concourantes en Modèle:Mvar, qui est par définition le conjugué isogonal de Modèle:Mvar.

Les céviennes Modèle:Mvar, Modèle:Mvar et Modèle:Mvar croisent les côtés opposés en Modèle:Mvar, Modèle:Mvar, Modèle:Mvar respectivement. Le triangle Modèle:Mvar est donc le triangle cévien de Modèle:Mvar. Le triangle Modèle:Mvar et le triangle cévien Modèle:Mvar sont homologiques ; soit Modèle:Mvar l'axe de l'homologie entre les deux triangles. La droite Modèle:Mvar est la polaire trilinéaire du point Modèle:Mvar, et la droite centrale associée au centre du triangle Modèle:Mvar.

Droites centrales connues

Pour le centre Modèle:Mvar de lModèle:'Encyclopedia of Triangle Centers de Clark Kimberling, on note Modèle:Mvar la droite centrale qui lui est associée. Certains droites centrales sont en effet connues et ont été étudiées.

Droite centrale associée à Modèle:Math, le centre du cercle inscrit : l'axe anti-orthique

L'axe anti-orthique comme axe de l'homologie entre le triangle Modèle:Mvar et son triangle excentral.

La droite centrale associée au centre du cercle inscrit Modèle:Math (aussi noté Modèle:Mvar) a pour équation trilinéaire

$x+y+z=0.$

Cette droite est lModèle:'axe anti-orthique du triangle Modèle:Mvar.

Le centre du cercle inscrit est son propre conjugué isogonal. Donc l'axe anti-orthique, qui est la droite centrale associée à Modèle:Math, est l'axe de l'homologie entre le triangle Modèle:Mvar et le triangle cévien du centre du cercle inscrit au triangle Modèle:Mvar.

L'axe anti-orthique du triangle Modèle:Mvar est aussi l'axe de l'homologie entre le triangle Modèle:Mvar et son triangle de Bevan, formé par les bissectrices extérieures et de sommets les centres des cercles exinscrits Modèle:Math.

Le triangle dont les côtés sont tangents extérieurement aux cercles exinscrits du triangle Modèle:Mvar est le triangle extangent du triangle Modèle:Mvar. Un triangle Modèle:Mvar et son triangle extangent sont homologiques, d'axe l'axe anti-orthique du triangle Modèle:Mvar.

Droite centrale associée à Modèle:Math, le centre de gravité : la droite de Lemoine

La droite de Lemoine comme axe de l'homologie entre le triangle Modèle:Mvar et son triangle tangentiel.

Modèle:Article détaillé Les coordonnées trilinéaires du centre de gravité Modèle:Math (aussi noté Modèle:Mvar) du triangle Modèle:Mvar sont Modèle:Math. Donc la droite centrale associée au centre de gravité est la droite d'équation trilinéaire est

$\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=0$.

Cette droite est la droite de Lemoine, ou axe de Lemoine du triangle Modèle:Mvar.

Le conjugué isogonal du centre de gravité Modèle:Math est le point de Lemoine Modèle:Math (aussi noté Modèle:Mvar) de coordonnées trilinéaires Modèle:Math. Donc la droite de Lemoine de triangle ABC est la polaire triliénaire du point de Lemoine du triangle Modèle:Mvar.

Le triangle tangentiel du triangle Modèle:Mvar est le triangle Modèle:Mvar formé par les tangentes au cercle circonscrit du triangle Modèle:Mvar en ses sommets. Le triangle Modèle:Mvar et son triangle tangentiel sont homologiques et l'axe de l'homologie est la droite de Lemoine du triangle Modèle:Mvar. Modèle:Clr

Droite centrale associée à Modèle:Math, le centre du cercle circonscrit : l'axe orthique

L'axe orthique comme axe de l'homologie entre le triangle Modèle:Mvar et son triangle orthique.

Les coordonnées trilinéaires du centre du cercle circonscrit Modèle:Math (aussi noté Modèle:Mvar) d'un triangle Modèle:Mvar sont Modèle:Math. Donc la droite centrale associée au centre du cercle circonscrit est la droite de coordonnées trilinéaires est

$x\cos A+y\cos B+z\cos C=0$.

Cette droite est lModèle:'axe orthique du triangle Modèle:Mvar.

Le conjugué isogonal du centre du cercle circonscrit Modèle:Math est l'orthocentre Modèle:Math (aussi noté Modèle:Mvar) de coordonnées Modèle:Math. Donc l'axe orthique du triangle Modèle:Mvar est la polaire trilinéaire de l'orthocentre du triangle Modèle:Mvar. L'axe orthique du triangle Modèle:Mvar est l'axe de l'homologie entre le triangle Modèle:Mvar et son triangle orthiqueModèle:Mvar. Modèle:Clr

Droite centrale associée à Modèle:Math, l'orthocentre

Construction de la droite centrale associée à l'orthocentre.

Les coordonnées trilinéaires de l'orthocentre Modèle:Math (noté souvent Modèle:Mvar) d'un triangle ABC sont Modèle:Math. Donc la droite centrale associée à l'orthocentre est la droite d'équation trilinéaire

$x\sec A+y\sec B+z\sec C=0.$

Le conjugué isogonal de l'orthocentre d'un triangle est le centre du cercle circonscrit au même triangle. Donc la droite centrale associée à l'orthocentre est la polaire trilinéaire du centre du cercle circonscrit.

Droite centrale associée à Modèle:Math, le centre du cercle d'Euler

Construction de la droite centrale associée au centre du cercle d'Euler.

Les coordonnées trilinéaires du centre du cercle d'Euler Modèle:Math (aussi noté Modèle:Mvar) d'un triangle ABC sont Modèle:Math. Ainsi, la droite centrale associée à ce centre est la droite d'équation trilinéaire

$x\cos (B-C)+y\cos (C-A)+z\cos (A-B)=0$.

Le conjugué isogonal du centre du cercle d'Euler d'un triangle Modèle:Mvar est le point de Kosnita Modèle:Math d'un triangle Modèle:MvarModèle:,. Donc la droite centrale associée au centre du cercle d'Euler est la polaire trilinéaire du point de Kosnita. Ce point se construit ainsi :

Pour Modèle:Mvar le centre du cercle circonscrit du triangle Modèle:Mvar, on note Modèle:Mvar, Modèle:Mvar, Modèle:Mvar les centres des cercles circonscrits aux triangles Modèle:Mvar, Modèle:Mvar, Modèle:Mvar respectivement. Les droites (Modèle:Mvar), (Modèle:Mvar) et (Modèle:Mvar) sont concourantes et ce point de conscours est le point de Kosnita du triangle Modèle:Mvar.

Ce nom a été donné par John Rigby.

Cette droite est également l'axe d'homologie entre le triangle ABC et le triangle formé par les symétriques des sommets de ABC par rapport à leurs côtés respectifs.

Droite centrale associée à Modèle:Math, le point de Lemoine : l'axe à l'infini

L'axe de l'homologie entre le triangle Modèle:Mvar et son triangle médian est à l'infini.

Les coordonnées trilinéaires du point de Lemoine Modèle:Math (aussi noté Modèle:Mvar) du triangle Modèle:Mvar sont Modèle:Math. Donc la droite centrale associée à ce centre est la droite d'équation trilinéaire

$ax+by+cz=0.$

Cette droite est à l'infini dans le plan du triangle Modèle:Mvar. En effet, le conjugué isogonal du point de Lemoine d'un triangle Modèle:Mvar est le centre de gravité du triangle Modèle:Mvar. Ainsi l'axe central associé au point de Lemoine est la polaire trilinéaire du centre de gravité. C'est donc l'axe de l'homologie entre le triangle Modèle:Mvar et son triangle médian. Or, ici, les deux côtés homologiques sont parallèles, donc cet axe de l'homologie est à l'infini.

D'autres droites centrales connues

Droite d'Euler

La droite d'Euler d'un triangle Modèle:Mvar est la droite passant par le centre de gravité, le centre du cercle circonscrit, l'orthocentre et le centre du cercle d'Euler de ce triangle. Son équation trilinéaire est

$x\sin (2A)\sin (B-C)+y\sin (2B)\sin (C-A)+z\sin (2C)\sin (A-B)=0$.

Le centre associé à cette droite est le centre Modèle:Math, qui est le centre radical du cercle circonscrit, du cercle d'Euler et du cercle de Brocard du triangle Modèle:Mvar.

Droite de Nagel

La droite de Nagel d'un triangle Modèle:Mvar est la droite passant par le centre de gravité, le centre du cercle inscrit, le centre de Spieker et le point de Nagel de ce triangle. Son équation trilinéaire est

$x\times a(b-c)+y\times b(c-a)+z\times c\times (a-b)=0$.

Le centre associé à cette droite est le centre Modèle:Math, qui est aussi l'intersection de l'axe anti-orthique et de l'axe de Lemoine.

Axe de Brocard

L'axe de Brocard d'un triangle Modèle:Mvar est la droite passant par le centre du cercle circonscrit et le point de Lemoine de ce triangle. Son équation trilinéaire est

$x\sin (B-C)+y\sin (C-A)+z\sin (A-B)=0$.

Le centre associé à cette droite est le centre Modèle:Math, qui est aussi le conjugué isgonal du foyer de la parabole de Kiepert du triangle Modèle:Mvar.

Droite de Gergonne

La droite de Gergonne d'un triangle Modèle:Mvar est l'axe de l'homologie entre le triangle et son triangle de contact (les points de tangence entre les côtés de triangle et son cercle inscrit). Son équation trilinéaire est

$xa(p-a)+yb(p-b)+zc(p-c)=0$

où Modèle:Mvar désigne le demi-périmètre du triangle. Le centre associé à cette droite est le centre Modèle:Math, qui est aussi le centre d'homothétie interne entre le cercle circonscrit et le cercle inscrit du triangle de référence (ce centre existe, même si on est ici dans un cas dégénéré où le cercle inscrit est à l'intérieur du cercle circonscrit.

Voir aussi

• Géométrie moderne du triangle
• Polarité trilinéaire