Anneau de cohomologie

En mathématiques, plus précisément en topologie algébrique, l'anneau de cohomologie d'un espace topologique X est un anneau composé des groupes de cohomologie de X, et dont l'opération de multiplication est le cup-produit. Dans ce cadre, la 'cohomologie' désigne généralement la cohomologie singulière, mais la structure d'anneau est aussi présente dans d'autres théories, comme la cohomologie de De Rham. Il est également fonctoriel : on peut trouver un morphisme d'anneaux continue, lequel est contravariant.

Soit $H^k(X,R)$ une suite de groupes de cohomologie sur $X$ à coefficients dans un anneau commutatif $R$ (par exemple, on peut prendre ${\mathbb{Z}}_n,\mathbb{Z},\mathbb{Q},ℝ,ℂ...$). On peut alors définir le cup-produit :

$H^k(X;R)\times H^{\ell }(X;R)\to H^{k+\ell }(X;R).$

Le cup-produit donne une opération de multiplication sur la somme directe des groupes de cohomologie.

$H^{\bullet }(X;R)=\underset{k\in \mathbb{N}}{⨁}{H}^k(X;R).$

Muni de cette opération de multiplication, $H^{\bullet }(X,R)$ devient un anneau. En fait, c'est même une algèbre $\mathbb{N}$-graduée, de degré $k$.

L'anneau de cohomologie est gradué-commutatif, au sens où ses éléments commutent au signe près, lequel est déterminé par leur degré. Plus précisément, pour des éléments de degrés $k,l$, on a :

$({\alpha }^k⌣{\beta }^{\ell })=(-1{)}^{k\ell }({\beta }^{\ell }⌣{\alpha }^k).$

Un invariant numérique dérivé de l'anneau de cohomologie est la longueur de cup, qui désigne le nombre maximal d'éléments gradués de degrés supérieurs à 1 qui ne s'annulent pas lorsque multipliés. Par exemple, un espace projectif complexe a une longueur de cup égale à sa dimension.

Exemples

• ${\mathrm{H}}^{*}(ℝP^n;{𝔽}_2)={𝔽}_2[\alpha ]/({\alpha }^{n+1})$ avec $|\alpha |=1$.
• ${\mathrm{H}}^{*}(ℝP^{\mathrm{\infty }};{𝔽}_2)={𝔽}_2[\alpha ]$ avec $|\alpha |=1$.
• ${\mathrm{H}}^{*}(ℂP^n;\mathbb{Z})=\mathbb{Z}[\alpha ]/({\alpha }^{n+1})$ avec $|\alpha |=2$.
• ${\mathrm{H}}^{*}(ℂP^{\mathrm{\infty }};\mathbb{Z})=\mathbb{Z}[\alpha ]$ avec $|\alpha |=2$.
• ${\mathrm{H}}^{*}(ℍP^n;\mathbb{Z})=\mathbb{Z}[\alpha ]/({\alpha }^{n+1})$ avec $|\alpha |=4$.
• ${\mathrm{H}}^{*}(ℍP^{\mathrm{\infty }};\mathbb{Z})=\mathbb{Z}[\alpha ]$ avec $|\alpha |=4$.

Voir aussi

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Références

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