Groupe de lacets

En mathématiques, un groupe de lacets (loop group en anglais) est un groupe composé de lacets dans un groupe topologique Modèle:Mvar.

Définition

Dans sa forme la plus générale, un groupe de lacets est un groupe d'applications continues d'une variété Modèle:Formule dans un groupe topologique Modèle:Mvar.

Plus précisément, soit Modèle:Formule, le cercle dans le plan complexe, et soit Modèle:Mvar désignant l'espace des applications continues Modèle:Formule, c'est-à-dire

$LG=\{\gamma :S^1\to G|\gamma \in C(S^1,G)\},$

muni de la topologie compacte-ouverte. Un élément de Modèle:Mvar est un lacet de Modèle:Mvar. La multiplication point par point de lacets donne à Modèle:Mvar la structure d'un groupe topologique.

L'espace Modèle:Mvar est appelé groupe libre de lacets sur Modèle:Mvar. Un groupe de boucles désigne n'importe quel sous-groupe du groupe libre Modèle:Mvar.

Exemples

Un exemple important de groupe de lacets est le groupe Modèle:Mvar des lacets pointés sur Modèle:Mvar. Par définition, c'est le noyau du morphisme $e_1:LG\to G,\gamma \mapsto \gamma (1)$ , et est donc un sous-groupe distingué fermé de Modèle:Mvar. (Ici, Modèle:Formule est le morphisme qui envoie à un lacet sa valeur à $1\in S^1$.) Notez que nous pouvons plonger Modèle:Mvar dans Modèle:Mvar en tant que sous-groupe des lacets constantes. Par conséquent, nous obtenons une suite exacte courte : $$1\to \mathrm{\Omega }G\to LG\to G\to 1.$$Des groupes de boucles ont été utilisés pour expliquer le phénomène des transformations de Bäcklund dans les équations du soliton par Chuu-Lian Terng et Karen Uhlenbeck.

Références

• Modèle:Ouvrage
• Modèle:Ouvrage

Articles connexes

• Espace de boucle
• Quasigroupe