Isomorphisme de Harish-Chandra

En mathématiques, l'isomorphisme de Harish-Chandra, défini par Harish-Chandra en 1951, est un isomorphisme d'anneaux commutatifs entre le centre $𝒵(U(𝔤))$ de l'algèbre enveloppante universelle $U(𝔤)$ d'une algèbre de Lie réductive $𝔤$ et les éléments $S(𝔥{)}^W$ de l'algèbre symétrique $S(𝔥)$ d'une sous-algèbre de Cartan $𝔥$ invariants sous l'action du groupe de Weyl $W$.

Introduction

Soient $𝔤$ une algèbre de Lie semi-simple, $𝔥$ sa sous-algèbre de Cartan et $\lambda ,\mu \in {𝔥}^{*}$ deux éléments de l'espace de poids (où ${𝔥}^{*}$ est le dual de $𝔥$). On fixe qu’un ensemble de racines positives ${\mathrm{\Phi }}_{+}$. Soient $V_{\lambda }$ et $V_{\mu }$ les modules de poids correspondant à $\lambda$ et $\mu$ respectivement.

Caractères centraux

Les $𝔤$-modules $V_{\lambda }$ et $V_{\mu }$ sont des représentations de l'algèbre enveloppante universelle $U(𝔤)$ et son centre agit sur les modules par multiplication scalaire (cela découle du fait que les modules sont générés par un vecteur de poids le plus élevé). Donc pour $v\in V_{\lambda }$ et $x\in 𝒵(U(𝔤))$,$$x\cdot v:={\chi }_{\lambda }(x)v$$et de même pour $V_{\mu }$. Les fonctions ${\chi }_{\lambda },{\chi }_{\mu }$ sont des caractères de $𝒵(U(𝔤))$ dits caractères centraux.

Énoncé du théorème de Harish-Chandra

Pour tous $\lambda ,\mu \in {𝔥}^{*}$, il y a égalité des caractères ${\chi }_{\lambda }={\chi }_{\mu }$ si et seulement si $\lambda +\delta$ et $\mu +\delta$ sont dans la même orbite du groupe de Weyl ${𝔥}^{*}$, où $\delta$ est la demi-somme des racines positives, parfois appelée vecteur de WeylModèle:Sfn.

Isomorphisme explicite

Plus explicitement, l'isomorphisme peut être construit comme la composition de deux applications, l'une de $ℨ=𝒵(U(𝔤))$ à $U(𝔥)=S(𝔥),$ et un autre de $S(𝔥)$ dans lui-même.

La première est une projection $\gamma :ℨ\to S(𝔥)$. Pour un choix de racines positives ${\mathrm{\Phi }}_{+}$, on définit$$n^{+}=\underset{\alpha \in {\mathrm{\Phi }}_{+}}{⨁}{𝔤}_{\alpha },n^{-}=\underset{\alpha \in {\mathrm{\Phi }}_{-}}{⨁}{𝔤}_{\alpha }$$les sous-algèbre nilpotente positive et sous-algèbre nilpotente négative respectivement, en raison du théorème de Poincaré – Birkhoff – Witt, il y a une décomposition$$U(𝔤)=U(𝔥)\oplus (U(𝔤){𝔫}^{+}+{𝔫}^{-}U(𝔤)).$$Si $z\in ℨ$ est central, alors en fait$$z\in U(𝔥)\oplus (U(𝔤){𝔫}^{+}\cap {𝔫}^{-}U(𝔤)).$$La restriction de la projection $U(𝔤)\to U(𝔥)$ au centre est $\gamma :ℨ\to S(𝔥)$, et est un homomorphisme des algèbres. Ceci est lié aux caractères centraux par$${\chi }_{\lambda }(x)=\gamma (x)(\lambda )$$La deuxième application est l'application de torsion $\tau :S(𝔥)\to S(𝔥)$ définie sur $𝔥$ par $\tau (h)=h-\delta (h)1$ avec $\delta$ le vecteur de Weyl.

Alors $\tilde{\gamma }=\tau \circ \gamma :ℨ\to S(𝔥)$ est l'isomorphisme d'Harish-Chandra. La raison pour laquelle la torsion est introduite est que ${\chi }_{\lambda }$ n'est pas réellement invariant de Weyl, mais on peut prouver que le caractère tordu ${\tilde{\chi }}_{\lambda }={\chi }_{\lambda -\delta }$ l'est.

Applications

Le théorème a été utilisé pour obtenir une preuve algébrique de la formule des caractères de Weyl pour les représentations irréductibles de dimension finieModèle:Sfn. La preuve a été encore simplifiée par Victor Kac, de sorte que seul l'opérateur de Casimir est nécessaire.

Une conséquence simple est que pour les modules de Verma ou les modules Verma généralisés $V_{\lambda }$ de poids $\lambda$, il n’existe qu’un nombre fini de poids $\mu$ pour lequel un morphisme non nul $V_{\lambda }\to V_{\mu }$ existe.

Invariants fondamentaux

Pour $𝔤$ une algèbre de Lie simple, soit $r$ soit son rang, c'est-à-dire la dimension de toute sous-algèbre de Cartan $𝔥$ de $𝔤$. H. S. M. Coxeter a observé que $S(𝔥{)}^W$ est isomorphe à une algèbre de polynômes en $r$ variables (voir le théorème de Chevalley-Shephard-Todd pour un énoncé plus général). Par conséquent, le centre de l'algèbre enveloppante universelle d'une algèbre de Lie simple est isomorphe à une algèbre de polynômes. Les degrés des générateurs de l'algèbre sont les degrés des invariants fondamentaux donnés dans le tableau suivant.

Algèbre de Lie	Nombre de Coxeter h	Nombre de Coxeter dual	Degré des invariants fondamentaux
R	0	0	1
An	n + 1	n + 1	2, 3, 4,... , n + 1
Bn	2n	2n − 1	2, 4, 6, ... , 2n
Cn	2n	n + 1	2, 4, 6, ... , 2n
Dn	2n − 2	2n − 2	n ; 2, 4, 6, ... , 2n − 2
E6	12	12	2, 5, 6, 8, 9, 12
E7	18	18	2, 6, 8, 10, 12, 14, 18
E8	30	30	2, 8, 12, 14, 18, 20, 24, 30
F4	12	9	2, 6, 8, 12
G2	6	4	2, 6

Le nombre d’invariants fondamentaux d’un groupe de Lie est égal à son rang. Les invariants fondamentaux sont également liés à l'anneau de cohomologie d'un groupe de Lie. En particulier, si les invariants fondamentaux ont des degrés $d_1,\cdots ,d_r$, alors les générateurs de l'anneau de cohomologie ont des degrés $2d_1-1,\cdots ,2d_r-1$. De ce fait, les degrés des invariants fondamentaux peuvent être calculés à partir des nombres de Betti du groupe de Lie et vice versa. Dans une autre direction, les invariants fondamentaux sont liés à la cohomologie de l'espace de classification. L'anneau de cohomologie $H^{*}(BG,ℝ)$ est isomorphe à une algèbre polynomiale sur des générateurs à degrés $2d_1,\cdots ,2d_r$.

Exemples

• Si $𝔤$ est l'algèbre de Lie $𝔰𝔩(2,ℝ)$, alors le centre de l'algèbre enveloppante universelle est généré par l'invariant de Casimir de degré 2, et le groupe de Weyl agit sur la sous-algèbre de Cartan, qui est isomorphe à $ℝ$. Donc l'invariant du groupe de Weyl est le carré du générateur de la sous-algèbre de Cartan, qui est également de degré 2.
• Pour $𝔤=A_2=𝔰𝔩(3,ℂ)$, l'isomorphisme de Harish-Chandra dit que$𝒵(U(𝔤))$ est isomorphe à une algèbre polynomiale de polynômes invariants de Weyl à deux variables $h_1,h_2$ (puisque la sous-algèbre de Cartan est deux dimensionnel). Pour $A_2$, le groupe de Weyl est $S_3\cong D_6$ qui agit sur la sous-algèbre de Cartan. Le groupe de Weyl agit par réflexions, ce sont donc des isométries et donc le polynôme de degré 2 $f_2(h_1,h_2)=h_1^2+h_2^2$ est un invariant de Weyl. Une ébauche du polynôme invariant de Weyl de degré 3 (pour un choix particulier de représentation standard où l'une des réflexions se trouve sur l'axe des x) est présentée ci-dessous. Ces deux polynômes génèrent l'algèbre polynomiale et sont les invariants fondamentaux de $A_2$.
• Pour toutes les algèbres de Lie de la classification, il existe un invariant fondamental de degré 2, l'opérateur de Casimir. À travers l'isomorphisme, celui-ci correspondent à un polynôme de degré 2 sur la sous-algèbre de Cartan. Le polynôme invariant est$f_2(𝐡)=h_1^2+\cdots +h_r^2$où r est la dimension de $𝔥$, le rang de l'algèbre de Lie.
• Pour $𝔤=A_1=𝔰𝔩(2,ℂ)$, la sous-algèbre de Cartan est unidimensionnelle, et l'isomorphisme de Harish-Chandra montre que $𝒵(U(𝔤))$ est isomorphe à l'algèbre des polynômes invariants de Weyl en une seule variable $h$. Le groupe de Weyl est $S_2$ agissant par réflexion, avec un élément non trivial agissant sur les polynômes par $h\mapsto -h$. La sous-algèbre des polynômes invariants de Weyl dans l'algèbre polynomiale complète $K[h]$ est constituée des polynômes pairs, générés par $f_2(h)=h^2$.

Généralisation aux algèbres de Lie affines

Le résultat ci-dessus est valable pour les algèbres de Lie réductives, et en particulier semi-simples. Il existe une généralisation aux algèbres de Lie affines montrée par Feigin et Frenkel montrant qu'une algèbre connue sous le nom de centre Feigin-Frenkel est isomorphe à une algèbre W associée à l'algèbre de Lie duale de Langlands $L^{}𝔤$ Modèle:,.

Références

• Modèle:Article
• Modèle:Ouvrage (Contains an improved proof of Weyl's character formula.)
• Modèle:Ouvrage
• Modèle:Ouvrage
• Modèle:Chapitre