Transformation de Cole-Hopf

La transformation de Cole-Hopf est un changement de variable destiné à transformer certaines équations aux dérivées partielles paraboliques comportant une non-linéarité en une équation de la chaleur et donc d'utiliser les méthodes d'obtention de solutions développées pour ce problème (voir noyau de la chaleur).

Elle a été développée indépendamment pour la résolution de l'équation de Burgers par Julian Cole et par Eberhard Hopf.

La transformation

L'équation de Burgers portant sur la vitesse d'un fluide $u(x,t)$ en une dimension d'espace $x$ s'écrit :

$\frac{\partial u}{\partial t}=\frac{\partial }{\partial x}(\nu \frac{\partial u}{\partial x}-\frac{u^2}{2})$

où $\nu$ est la viscosité cinématique.

On introduit la fonction :

$\varphi (x,t)=\exp \{-\frac{1}{2\nu }\int udx\}\iff u=-\frac{2\nu }{\varphi }\frac{\partial \varphi }{\partial x}$

En introduisant cette quantité dans l'équation de Burgers il vient :

$-2\nu \frac{\partial }{\partial x}\left(\frac{1}{\varphi }\frac{\partial \varphi }{\partial t}\right)=-\frac{\partial }{\partial x}\left(2{\nu }^2\frac{1}{\varphi }\frac{{\partial }^2\varphi }{\partial x^2}\right)$

On intègre chaque membre en redéfinissant  $\varphi \to \varphi \exp \{-\int Cdt\}$  où  $C(t)$  est une constante d'intégration et on obtient ainsi l'équation de la chaleur :

$\frac{\partial \varphi }{\partial t}=\nu \frac{{\partial }^2\varphi }{\partial x^2}$

Applications et généralisations

La méthode a été appliquée également à l'équation de Korteweg–de Vries.

La transformation a également été généralisée en utilisant un coefficient variable afin d'étendre son utilisation aux équations non-linéaires paraboliques et hyperboliques exactement linéarisables. Cela concerne les équations modèles de système de réaction-diffusion ou de turbulence tels que celui proposé par Burgers.