Anneau de Cohen-Macaulay

En algèbre commutative, un anneau de Cohen-Macaulay est un anneau noethérien qui n'est pas nécessairement régulier, mais dont la profondeur est égale à sa dimension de Krull. Une singularité de Cohen-Macaulay est une singularité dont l'anneau local est un anneau de Cohen-Macaulay. Les anneaux portent le nom d'Irvin Cohen et Francis Macaulay.

Dans la hiérarchie des anneaux, on a les inclusions suivantes :

Anneau universellement caténaire $\supset$ anneau de Cohen-Macaulay $\supset$ anneau de Gorenstein $\supset$ anneau d'intersection complète $\supset$ anneau local régulier.

Définitions

Suite régulière

Soit $M$ un module sur un anneau $R$ ; un élément $a\in R$ est dit régulier si $a\cdot x=0$ pour un $x\in M$ implique $x=0$ .

Une suite $(a_1,\dots ,a_n)$ d'éléments $R$ est appelée suite $M$- régulière si les conditions suivantes sont remplies :

• $M\ne (a_1,\dots ,a_n)M$ ;
• Pour $i<m$ l'image de $a_{i+1}$ dans $M/(a_1,\dots ,a_i)M$ n'est pas un diviseur de zéro.

Profondeur d'un module

Soit $M$ un module sur un anneau $R$ ; la profondeur $\mathrm{p}\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{f}(M)$ de $M$ est la longueur maximale d'une suite $M$-régulière d'éléments de $R$ .

Dimension d'un module

La dimension $\dim (M)$ d'un module $M$ sur un anneau $R$ est la dimension de Krull de $R/\mathrm{A}\mathrm{n}\mathrm{n}(M)$, où $\mathrm{A}\mathrm{n}\mathrm{n}(M)$ est l'annulateur de $M$.

Pour un module $M$ de type fini sur un anneau noethérien, on a :

$\dim (M)=\max \{\dim (R/p)|p\in \mathrm{Ass}(M)\}=\max \{\dim (R/p)|p\in \mathrm{Supp}(M)\}$

où $\mathrm{Ass}(M)$ désigne l'ensemble des à idéaux premiers associés à $M$, et $\mathrm{Supp}(M)$ le support du module.

Pour un module de type fini $M$ sur un anneau local noethérien $R$ on a l'inégalité :

$\mathrm{prof}(M_m)\le \min \{\dim (R/p)|p\in \mathrm{Ass}(M)\}\le \dim (M)$.

Cohen-Macaulay

Un module de type fini $M$ sur un anneau noethérien $R$ est appelé un module de Cohen-Macaulay si pour tous les idéaux maximaux $m$ de $R$ on a :

$\mathrm{p}\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{f}(M_m)=\dim (M_m)$.

$R$ est un anneau de Cohen-Macaulay si $R$ en tant que module, est un module de Cohen-Macaulay.

Exemples d'anneaux de Cohen-Macaulay

• La localisation d'un anneau de Cohen-Macaulay.
• Un anneau noethérien de dimension 0 ou, de manière équivalente, un anneau artinien.
• Un anneau noethérien de dimension 1 réduit.
• Un anneau noethérien de dimension 2 normal.
• Un anneau noethérien régulier, comme les entiers $\mathbb{Z}$, ou l'anneau des polynômes $K[x_1,\dots ,x_n]$ sur un corps $K$, ou un anneau de séries formelles $K[[x_1,\dots ,x_n]]$
• Un anneau de Gorenstein.
• L'anneau des invariants $R^G$, où $R$ est un anneau de Cohen-Macaulay sur un corps de caractéristique 0 et $G$ est un groupe fini ou plus généralement un groupe algébrique linéaire dont la composante identité est un groupe réductif. C'est le Modèle:Lien.
• Un anneau de Cohen-Macaulay est un anneau caténaire.
• Un anneau déterminant (« determinantal ring » en anglais). Soit $R$ le quotient d'un anneau local régulier $S$ par l'idéal $I$ engendré par les mineurs de taille $r\times r$ des matrices $p\times q$ à éléments dans $S$. Si la codimension (ou hauteur) de $I$ est égale à la codimension $(p-r+1)(q-r+1)$, alors $R$ est appelé un anneau déterminant. Dans ce cas, $R$ est un anneau de Cohen-Macaulay De même, les anneaux de coordonnées des variétés déterminantes sont des anneaux de Cohen-Macaulay.
• Anneaux de polynômes :

1. L'anneau $K[x]/(x^2)$ est de dimension 0 et donc est de Cohen–Macaulay, mais il n'est pas réduit et donc n'est pas régulier.
2. Le sous-anneau $K[t^2,t^3]$ de l'anneau de polynômes $K[t]$, ou sa localisation ou sa complétion en $t=0$, est un domaine de dimension 1 qui est Gorenstein et donc Cohen–Macaulay, mais il n'est pas régulier. Cet anneau peut auss être vu comme l'anneau des coordonnées de la courbe cubique $y^2=x^3$ sur $K$.
3. Le sous-anneau $K[t^3,t^4,t^5]$ de l'anneau des polynômes $K[t]$, ou sa localisation ou complétion en $t=0$, est un domaine de dimension 1 qui est Cohen–Macaulay mais n'est pas Gorenstein.

• Les singularités rationnelles sur un corps de caractéristique zéro sont des singularités de Cohen-Macaulay.
• Les variétés toriques sur n'importe quel corps sont des variétés de Cohen-Macaulay. Le programme du modèle minimal fait un usage important des variétés avec des singularités de type klt (pour Kawamata log terminal) ; en caractéristique zéro, ce sont des singularités rationnelles et donc des singularités de Cohen-Macaulay. Un analogue des singularités rationnelles en caractéristique positive est la notion de 'F-singularité rationnelle ; là encore, de telles singularités sont des singularités de Cohen-Macaulay.
• Soit $X$ une variété projective de dimension $n\ge 1$ sur un corps, et soit $L$ un faisceau sur $X$. L'anneau de section de $L$

$R=\underset{j\ge 0}{⨁}{H}^0(X,L^j)$

est Cohen-Macaulay si et seulement si le groupe de cohomologie $H^i(X,L^j)$ est nul pour tout $1\le i\le n-1$ et tous les entiers j. Il s'ensuit, par exemple, que le cône affine $\mathrm{Spec}R$ sur une variété abélienne $X$ est Cohen-Macaulay lorsque $X$ est de dimension 1, mais pas lorsque $X$ a une dimension d'au moins 2 (car $H^1(X,O)$ n'est pas nul).

Exemples géométriques

• Soit $K$ un corps ; la variété algébrique composée de l'axe des X et de l'axe des Y, est décrite par l'anneau de coordonnées $K[x,y]/(x\cdot y)$. Le point d'intersection est décrit par l'anneau

$R=(K[x,y]/(x\cdot y){)}_{(x,y)}$

C'est une singularité parce que $R$ est unidimensionnel, mais l'idéal maximum de $R$ ne peut être engendré que par deux éléments. D'un autre côté, $R$ est un anneau de Cohen-Macaulay (et même de Gorenstein), puisque l'idéal maximal ne contient pas que des diviseurs de zéro.

• Une singularité plus compliquée est dans l'anneau

$K[x,y]/(x^2,x\cdot y)$

L'anneau local associé à la singularité

$(K[x,y]/(x^2,x\cdot y){)}_{(x,y)}$

n'est pas un anneau de Cohen-Macaulay. Il est unidimensionnel, mais l’idéal maximal n’est constitué que de diviseurs de zéro, il n’y a donc pas de suite régulière.

Bibliographie

• Modèle:Ouvrage

• Modèle:Ouvrage
• Modèle:Article
• Modèle:EncycloMath
• Modèle:Ouvrage
• Modèle:Ouvrage
• Modèle:Ouvrage
• Modèle:Ouvrage
• Modèle:Ouvrage
• Modèle:Ouvrage

• Modèle:Ouvrage

• Modèle:Ouvrage
• Modèle:Ouvrage

• Modèle:Chapitre.