Espace de James

En mathématiques, et plus précisément en analyse fonctionnelle, l'espace de James est un espace de Banach qui sert souvent de contre-exemple aux affirmations générales concernant la structure des espaces de Banach. Il a été introduit pour la première fois en 1950 dans un court article de Robert C. James.

L'espace de James est isométriquement isomorphe à son bidual, mais n'est pas réflexif. De plus, l'espace de James a une base, mais n'a pas de base inconditionnelle.

Soit $𝒫$ l'ensemble des suites finies croissantes d'entiers de longueur impaire. Pour toute suite de nombres réels $x=(x_n)$ et $p=(p_1,p_2,\dots ,p_{2n+1})\in 𝒫$, on pose

$\Vert x{\Vert }_p:={(x_{p_{2n+1}}^2+\sum _{m=1}^n(x_{p_{2m-1}}-x_{p_{2m}}{)}^2)}^{1/2}.$

L'espace de James, noté J, est défini comme l'ensemble des éléments x de c ₀ satisfaisant $\underset{p\in 𝒫}{\sup }\Vert x{\Vert }_p<\mathrm{\infty }$, muni de la norme $\Vert x\Vert :=\underset{p\in 𝒫}{\sup }\Vert x{\Vert }_p$.

Propriétés

Source :

• L'espace de James est un espace de Banach.
• La base canonique est une base de Schauder de J.
• J n'a pas de base inconditionnelle.
• L'espace de James n'est pas réflexif. Son image dans le bidual par l'injection canonique est de codimension un.
• L'espace de James est cependant isométriquement isomorphe à son bidual.
• Tout sous-espace fermé de dimension infinie de l'espace de James contient un sous-espace réflexif de dimension infinie.