Équation de Emden-Chandrasekhar

Solution numérique de l'équation de Emden-Chandrasekhar : masse volumique relative en fonction du rayon adimensionné.

En astrophysique l'équation de Emden-Chandrasekhar est une forme non linéaire de l'équation de Poisson décrivant la distribution de masse volumique d'une sphère de gaz isotherme soumise à sa propre force gravitationnelle. Elle est ainsi nommée d'après Robert Emden (1907) et Subrahmanyan ChandrasekharModèle:,.

L'équation s'écrit :

$\frac{1}{{\xi }^2}\frac{d}{d\xi }\left({\xi }^2\frac{d\psi }{d\xi }\right)=e^{-\psi }$

où $\xi$ est le rayon adimensionné et $\psi$ est un coefficient lié à la masse volumique de la sphère de gaz par $\rho ={\rho }_c{e}^{-\psi }$, où ${\rho }_c$ est la valeur centrale. L'équation n'a pas de solution analytique connue. Si l'on utilise un fluide polytropique au lieu d'un fluide isotherme on obtient l'équation de Lane-Emden. L'hypothèse isotherme est généralement utilisée pour décrire le coeur d'une étoile. L'équation est résolue avec les conditions initiales suivantes :

$\psi =0\text{et}\frac{d\psi }{d\xi }=0\text{en}\xi =0$

L'équation apparaît également dans d'autres branches de la physique, par exemple dans la théorie de Frank-Kamenetskii en géométrie sphérique. La version relativiste de ce modèle isotherme à symétrie sphérique a été étudiée par Chandrasekhar en 1972.

Dérivation

Pour une étoile gazeuse isotherme, la pression $p$ est due à la pression cinétique et à la pression de rayonnement

$p=\rho \frac{k_B}{WH}T+\frac{4\sigma }{3c}{T}^4$

où

• $\rho$ est la masse volumique,
• $k_B$ est la constante de Boltzmann,
• $W$ est la masse molaire moyenne,
• $H$ est la masse du proton,
• $T$ est la température de l'étoile,
• $\sigma$ est la constante de Stefan-Boltzmann,
• $c$ est la vitesse de la lumière.

L'équation d'équilibre de l'étoile nécessite un équilibre entre la force de pression et la force gravitationnelle :

$\frac{1}{r^2}\frac{d}{dr}\left(\frac{r^2}{\rho }\frac{dp}{dr}\right)=-4\pi G\rho$

où $r$ est le rayon mesuré à partir du centre et $G$ est la constante gravitationnelle. L'équation est réécrite de la façon suivante :

$\frac{k_{B}T}{WH}\frac{1}{r^2}\frac{d}{dr}\left(r^2\frac{d\ln \rho }{dr}\right)=-4\pi G\rho$

Solution réelle et solution asymptotique.

On utilise les transformations suivantes :

$\psi =\ln \frac{{\rho }_c}{\rho },\xi =r{\left(\frac{4\pi G{\rho }_{c}WH}{k_{B}T}\right)}^{1/2}$

où ${\rho }_c$ est la densité centrale de l'étoile.

$\frac{1}{{\xi }^2}\frac{d}{d\xi }\left({\xi }^2\frac{d\psi }{d\xi }\right)=e^{-\psi }$

Il n'y a pas de solution analytique connue mais on peut trouver une solution approchée pour $\xi \ll 1$ sous forme de développement :

$\psi =\frac{{\xi }^2}{6}-\frac{{\xi }^4}{120}+\frac{{\xi }^6}{1890}+\cdots$

Autres formes de l'équation

• On peut se ramener à une équation du premier ordre grâce à une transformation due à Edward Arthur Milne :

$u=\frac{\xi e^{-\psi }}{d\psi /d\xi },v=\xi \frac{d\psi }{d\xi }$

Ce qui conduit à :

$\frac{u}{v}\frac{dv}{du}=-\frac{u-1}{u+v-3}$

• Une autre méthode utilise une fonction singulière donnée par $x=1/\xi$. Elle transforme l'équation en :

$x^4\frac{d^2\psi }{d{x}^2}=e^{-\psi }$

Cette équation possède une solution singulière donnée par :

$e^{-{\psi }_s}=2x^2\Rightarrow -{\psi }_s=2\ln x+\ln 2$

Cela suggère l'introduction d'une nouvelle fonction $z=-\psi -2\ln x$ obéissant à :

$\frac{d^{2}z}{d{t}^2}-\frac{dz}{dt}+e^z-2=0\text{où}t=\ln x$

Cette équation peut être réduite au premier ordre en introduisant une nouvelle fonction :

$y=\frac{dz}{dt}=\xi \frac{d\psi }{d\xi }-2$

On a alors pour cette dernière :

$y\frac{dy}{dz}-y+e^z-2=0$

Propriétés de la solution

• Si $\psi (\xi )$ est une solution de l'équation d'Emden–Chandrasekhar, alors $\psi (A\xi )-2\ln A$, où $A$ est une constante arbitraire, est aussi une solution de l'équation.
• Les solutions de l'équation qui sont finies à l'origine ont nécessairement $d\psi /d\xi =0$ à $\xi =0$.

Limites du modèle

L'hypothèse d'une sphère isotherme représente mal une étoile : la masse volumique obtenue diminue trop lentement à partir du centre pour donner une surface bien définie et une masse finie. On utilise parfois pour $\xi \gg 1$ l'approximation suivante :

$\frac{\rho }{{\rho }_c}=e^{-\psi }=\frac{2}{{\xi }^2}[1+\frac{A}{{\xi }^{1/2}}\cos (\frac{\sqrt{7}}{2}\ln \xi +\delta )+O({\xi }^{-1})]$

où $A$ et $\delta$ sont des constantes qui sont obtenues à partir d'une solution numérique.