Intégrale première

Une intégrale première d'une équation différentielle ordinaire ou d'un système différentiel $\mathrm{\Phi }[t,x(t),\dot{x}(t),\dots ]=0$, où $t$ est la variable et $x(t)$ la fonction inconnue (scalaire ou vectorielle), est une fonctionnelle $\mathrm{\Psi }[t,x(t),\dot{x}(t),\dots ]$ qui reste constante (ne dépend pas de $t$) pour toute solution $x(t)$ de l'équation ou du système. Quand $x(t)$ est une coordonnée ou un vecteur position, on parle souvent d'une intégrale première du mouvement.

Le nom d'intégrale première provient du fait qu'on l'obtient en procédant à une première intégration de l'équation ou du système (on passe de l'ordre $n$ à l'ordre $n-1$).

Exemple : équations différentielles d'ordre 1

Pour une équation différentielle d'ordre 1 écrite sous la forme :

$\dot{x}(t)=f[t,x(t)]$,

on montre que $F[t,x(t)]$ est une intégrale première si et seulement si c'est une solution de l'équation aux dérivées partielles :

$\frac{\partial F}{\partial t}+\frac{\partial F}{\partial x}f=0$.

Exemple : dynamique du point

Quand un point matériel de masse $m$ est soumis à une force qui dérive d'un potentiel, son vecteur position $x(t)$ est une solution du système différentiel d'ordre 2 :

$m\ddot{x}(t)=-\mathrm{\nabla }U[x(t)]$,

où $U[x(t)]$ désigne le potentiel (l'énergie potentielle) et $\mathrm{\nabla }$ l'opérateur nabla. On montre que les fonctionnelles ci-dessous sont des intégrales premières du mouvement :

$\{\begin{array}{c}E(x,v)=\frac{1}{2}m{v}^2+U(x)\\ M_1(x,v)=m(x_2{v}_3-x_3{v}_2)\\ M_2(x,v)=m(x_3{v}_1-x_1{v}_3)\\ M_3(x,v)=m(x_1{v}_2-x_2{v}_1)\end{array}$

où $v=\dot{x}$ désigne le vecteur vitesse. $E$ est l'énergie mécanique (somme de l'énergie cinétique et de l'énergie potentielle) et $M_1,M_2,M_3$ les composantes du moment cinétique. Ces quatre grandeurs scalaires restent constantes au cours du mouvement du point matériel.