Inégalité de Gauss

En théorie des probabilités, lModèle:'inégalité de Gauss donne une borne supérieure à la probabilité qu'une variable aléatoire unimodale se trouve à plus d'une distance donnée de son mode.

Soit Modèle:Mvar une variable aléatoire unimodale de mode Modèle:Mvar, et soit Modèle:Math soit l'espérance de Modèle:Math. (Modèle:Math peut également être exprimée comme Modèle:Math, où Modèle:Mvar et Modèle:Mvar sont la moyenne et l'écart type de Modèle:Mvar). Alors pour toute valeur positive de Modèle:Mvar,

$\mathbb{P}(|X-m|>k)\le \{\begin{array}{cc}{\left(\frac{2\tau }{3k}\right)}^2& \text{si }k\ge \frac{2\tau }{\sqrt{3}}\\ 1-\frac{k}{\tau \sqrt{3}}& \text{si }0\le k\le \frac{2\tau }{\sqrt{3}}.\end{array}$

Le théorème a été démontré pour la première fois par Carl Friedrich Gauss en 1823.

Comparaison avec d'autres inégalités de concentration

La borne donnée par l'inégalité de Gauss est plus forte que celle de l'inégalité de Beinaymé-Tchebychev, mais elle possède deux inconvénients majeurs : la borne inférieure dans l'inégalité de Gauss n'est valide que sous des conditions très strictes et elle impose de connaitre la valeur, pour $a>0$ donné, si la valeur de $\mathbb{P}(|X|>a{\sigma }_X)$ est supérieure ou inféireure a Modèle:Sfrac.

Extensions aux moments d'ordre supérieur

Winkler a étendu en 1866 l'inégalité de Gauss aux moments d'ordre Modèle:Math et la distribution est unimodale avec un mode en zéro. C'est ce qu'on appelle parfois l'inégalité de Camp-MeidellModèle:,.

$\mathbb{P}(|X|\ge k)\le {\left(\frac{r}{r+1}\right)}^r\frac{𝔼(|X|{)}^r}{k^r}\text{si}{k}^r\ge \frac{r^r}{(r+1{)}^{r+1}}𝔼(|X{|}^r),$

$\mathbb{P}(|X|\ge k)\le (1-{\left[\frac{k^r}{(r+1)𝔼(|X|{)}^r}\right]}^{1/r})\text{si}{k}^r\le \frac{r^r}{(r+1{)}^{r+1}}𝔼(|X{|}^r).$

La borne de Gauss a été ultérieurement affinée et étendue pour s'appliquer aux écarts à la moyenne plutôt qu'au mode grâce à l'inégalité de Vysochanskiï-Petunin. Cette dernière a été étendue par Dharmadhikari et Joag-Dev

$\mathbb{P}(|X|>k)\le \max ({\left[\frac{r}{(r+1)k}\right]}^r𝔼|X^r|,\frac{s}{(s-1)k^r}𝔼|X^r|-\frac{1}{s-1})$

où Modèle:Mvar est une constante satisfaisant à la fois Modèle:Math et Modèle:Math et Modèle:Math.

On peut montrer que ces inégalités sont les meilleures possibles et qu’un affinement supplémentaire des limites nécessite que des restrictions supplémentaires soient placées sur les distributions.

Voir aussi

• l'inégalité de Vysochanskiï-Petunin, un résultat similaire pour la distance à la moyenne plutôt que pour le mode
• l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev concerne la distance à la moyenne sans nécessiter l'unimodalité
• Inégalités de concentration – un résumé des limites de queue sur les variables aléatoires.

Bibliographie

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