Théorème tangente-sécante

En géométrie euclidienne, le théorème tangente-sécante décrit la relation entre le longueurs des segments de droite créés par une sécante et une tangente avec le cercle associé. Ce résultat se retrouve dans la proposition 36 du livre 3 des Éléments d'Euclide.

Étant donné une sécante Modèle:Mvar coupant un cercle aux points Modèle:Formule et Modèle:Formule et une droite Modèle:Mvar tangente au cercle au point Modèle:Mvar , telles que Modèle:Mvar et Modèle:Mvar se coupent au point Modèle:Mvar, on a alors l'égalité suivante :

$| P T |^{2} = | P G_{1} | \cdot | P G_{2} |$

Le théorème tangente-sécante peut être démontré en utilisant des triangles semblables (voir graphique).

Comme le théorème des cordes sécantes et le théorème des sécantes au cercle, le théorème tangente-sécante représente l'un des trois cas fondamentaux d'un théorème plus général concernant deux droites sécantes et un cercle, à savoir le théorème de la puissance du point. En effet, on a : $| P T |^{2} = | P G_{1} | \cdot | P G_{2} | = P (P)$ où Modèle:Math désigne la puissance du point P par rapport au cercle.

Références