Puissance d'un point par rapport à un cercle

En géométrie euclidienne du plan, la puissance d'un point Modèle:Mvar par rapport à un cercle de centre Modèle:Mvar et de rayon Modèle:Mvar est un nombre qui indique la position de Modèle:Mvar par rapport à ce cercle. Elle peut être définie comme Modèle:Math.

Il existe plusieurs résultats pour différentes formules de calcul de la puissance d'un point, selon la position du point par rapport au cercle. Ils reposent tous sur la construction de droites sécantes au cercle, passant par le point.

La puissance d'un point apparait dans la construction de plusieurs objets géométriques et la démonstration de leurs propriétés, comme l'axe radical de deux cercles, le centre radical de trois cercles ou la construction d'un diagramme de Laguerre.

Le mathématicien Edmond Laguerre a défini la puissance d'un point par rapport à toute courbe algébrique.

Propriété fondamentale et définition

Signe de la puissance

On peut remarquer que :

• si Modèle:Mvar est à l’extérieur du cercle, Modèle:Math ;
• si Modèle:Mvar est à l’intérieur du cercle, Modèle:Math.

Lorsque le point Modèle:Mvar est à l'extérieur du cercle, il est possible de mener des tangentes au cercle. En appelant Modèle:Mvar le point de contact du cercle avec une de ces tangentes, la puissance de Modèle:Mvar est Modèle:Math (théorème de Pythagore).

L'égalité Modèle:Math est suffisante pour affirmer que la droite Modèle:Math est tangente au cercle.

La puissance d'un point permet de vérifier que quatre points sont cocycliques : en effet, si Modèle:Mvar, Modèle:Mvar, Modèle:Mvar, Modèle:Mvar sont quatre points tels que Modèle:Math et Modèle:Math se coupent en Modèle:Mvar et si Modèle:Math, alors les quatre points sont cocycliques.

Point de vue algébrique

Dans un repère orthonormé, le cercle Modèle:Math de centre Modèle:Math et de rayon Modèle:Mvar a pour équation cartésienne Modèle:Math, qu'on peut réécrire sous la forme Modèle:Math avec Modèle:Math ; alors la puissance du point Modèle:Math par rapport à ce cercle est Modèle:Math.

Applications

Axe radical de deux cercles

L'axe radical de deux cercles, de centres distincts, est l'ensemble des points ayant même puissance par rapport à ces deux cercles.

On considère deux cercles Modèle:Math et Modèle:Math avec Modèle:Mvar et Modèle:Mvar distincts. L'ensemble des points Modèle:Mvar de mêmes puissances par rapport aux deux cercles vérifie :

$p_c(M)=M{O}^2-R^2=p_{c^{\prime }}(M)=MO{\text{'}}^2-R{\text{'}}^2,\text{soit}M{O}^2-MO{\text{'}}^2=R^2-R{\text{'}}^2.$

Soit Modèle:Mvar le milieu de Modèle:Math et Modèle:Mvar la projection orthogonale de Modèle:Mvar sur Modèle:Math. D'après le troisième théorème de la médiane dans le triangle Modèle:Mvar, on a : $2\overrightarrow{O{O}^{\prime }}\cdot \overrightarrow{IK}=R^2-R{\text{'}}^2$.
Tous ces points Modèle:Mvar ont le même projeté orthogonal sur la droite Modèle:Math, et la formule obtenue ci-dessus permet de construire ce projeté Modèle:Mvar. L'axe radical est donc la droite perpendiculaire à la ligne des centres et passant par Modèle:Mvar.

Si les cercles sont sécants, l'axe radical est la droite joignant les points d'intersection.

L'axe radical (éventuellement en dehors du segment intérieur aux deux cercles) est aussi l'ensemble des points desquels on peut mener, aux deux cercles, des segments tangents de même longueur.

En particulier si les cercles sont extérieurs et admettent une tangente commune Modèle:Math, le milieu Modèle:Mvar de Modèle:Math appartient à l'axe radical. Cette propriété permet de construire l'axe radical.

D'un point de vue analytique, si les deux cercles ont pour équations Modèle:Math et Modèle:Math, les points ayant même puissance par rapport aux deux cercles sont ceux pour lesquels Modèle:Math, ce qui équivaut à Modèle:Math, avec Modèle:Math ; on retrouve bien l'équation de l'axe radical.

Centre radical de trois cercles

Les axes radicaux de trois cercles de centres non alignés concourent en un point appelé centre radical des trois cercles (voir aussi : cercle orthogonal à trois cercles).

On en déduit, par exemple, que si trois cercles sont tangents deux à deux, leurs tangentes communes sont concourantes, et leur centre radical est alors le centre du cercle circonscrit au triangle formé par les trois points de tangence.

Extensions

Laguerre a défini la puissance d'un point Modèle:Mvar par rapport à une courbe algébrique de degré Modèle:Mvar comme le produit des distances entre Modèle:Mvar et les Modèle:Formule points d'intersection d'un cercle passant par Modèle:Mvar avec la courbe, divisé par le rayon du cercle Modèle:Mvar élevé à la puissance Modèle:Mvar. Il a également démontré que cette valeur est indépendante du rayonModèle:,. Il lie en outre cette puissance à l'équation de la courbe plane sous forme Modèle:Formule, en remarquant que la puissance du point Modèle:Formule est égale, à une constante multiplicative près, à Modèle:Formule.

Voir aussi

Articles connexes

• Cercle
• Cercles orthogonaux
• Faisceau de cercles
• Jakob Steiner
• Livre III des Éléments d'Euclide
  • Théorème tangente-sécante
  • Théorème des cordes sécantes
  • Théorème des sécantes au cercle

Liens externes

• « Avec GéoPlan » : la géométrie du cercle
• « Avec Cabri » : puissance d'un point par rapport à un cercle
• Modèle:Mathworld