Théorème des sécantes au cercle

Modèle:Centrer

En géométrie euclidienne, le théorème des sécantes au cercle ou simplement le théorème des sécantes décrit la relation entre les segments de droite créés par deux sécantes passant toutes deux par un même cercle associé.

Pour deux droites Modèle:Mvar et Modèle:Mvar qui se croisent en Modèle:Mvar et pour lesquelles Modèle:Formule se trouvent toutes sur le même cercle, l'équation suivante est vraie :

$$|PA|\cdot |PD|=|PB|\cdot |PC|$$

Le théorème découle directement du fait que les triangles Modèle:Formule et Modèle:Formule sont semblables. En effet, ils ont le même angle Modèle:Formule et on a Modèle:Formule car ce sont des angles inscrits sur Modèle:Mvar . La similitude donne une équation pour les rapports qui est équivalente à la formulation du théorème donné ci-dessus : $$\frac{PA}{PC}=\frac{PB}{PD}\iff |PA|\cdot |PD|=|PB|\cdot |PC|$$

Avec le théorème des cordes sécantes et le théorème tangente-sécante, le théorème des sécantes au cercle représente l'un des trois cas fondamentaux d'un théorème plus général concernant deux droites sécantes et un cercle : le théorème de la puissance du point.

Références

• Modèle:Ouvrage
• Modèle:Ouvrage
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Liens externes

• Modèle:En Secant Secant Theorem at proofwiki.org
• Modèle:En Power of a Point Theorem auf cut-the-knot.org
• Modèle:MathWorld