Nombre étoilé

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Le Modèle:5e étoilé vaut 121, comme somme de 61 (le Modèle:5e hexagonal centré) et de 60 (six fois le Modèle:4e triangulaire).

En mathématiques, un nombre étoilé est un nombre figuré polygonal centré comptant des points régulièrement répartis dans un hexagramme, à la façon dont sont réparties les cases du plateau des dames chinoises.

Le n-ième nombre étoilé $E_n$ est obtenu en répartissant les points dans l'hexagone central comme pour le n-ième nombre hexagonal centré (ayant $n$ points sur les côtés extérieurs) : $C_{6,n}=1+6T_{n-1}$, et les 6 triangles extérieurs comme pour le (n – 1)-ième nombre triangulaire ayant $n-1$ points sur ses côtés : $T_{n-1}=n(n-1)/2$. On a donc :

$E_n=1+12T_{n-1}=1+6n(n-1).$

Ce nombre est égal au n-ième nombre dodécagonal centré :$E_n=C_{12,n}$.

Les 25 premiers nombres étoilés sont 1, 13, 37, 73, 121, 181, 253, 337, 433, 541, 661, 793, 937, 1 093, 1 261, 1 441, 1 633, 1 837, 2 053, 2 281, 2 521, [[2 773 (nombre)|Modèle:Nombre]], 3 037, 3 313 et 3 601 (Modèle:OEIS). Cette suite d'entiers est de période 25 modulo 100 et de période 3 modulo 9.

Il existe une infinité d'indices $n$ pour lesquels le n-ième nombre étoilé est triangulaire (Modèle:OEIS) et une infinité pour lesquels il est carré (Modèle:OEIS). Dans les deux cas, ce sont les solutions d'une équation diophantienne. Les trois premiers nombres étoilés triangulaires sont EModèle:Ind = 1 = TModèle:Ind, EModèle:Ind = 253 = TModèle:Ind et EModèle:Ind = 49 141 = TModèle:Ind et les trois premiers nombres étoilés carrés sont EModèle:Ind = 1Modèle:2, EModèle:Ind = 121 = 11Modèle:2 et EModèle:Ind = 11 881 = 109Modèle:2.

Les dix plus petits nombres étoilés premiers sont 13, 37, 73, 181, 337, 433, 541, 661, 937 et 1 093 (Modèle:OEIS).

Généralisation

La notion peut être généralisée à des polygrammes quelconques . Le nombre étoilé associé à un polygramme d'ordre $k$ est défini comme le $n$-ième nombre $k$-gonal centré auquel on ajoute $k$ copies du ($n-1$)-ième nombre triangulaire.

On a donc :

$E_{k,n}=C_{k,n}+k{T}_{n-1}=1+k{T}_{n-1}+k{T}_{n-1}=1+2k{T}_{n-1}=C_{2k,n}$

Ce nombre est donc égal au $n$-ième nombre 2$k$-gonal centré.