Théorème d'Abel (analyse)

En mathématiques, le théorème d'Abel, ou théorème de convergence radiale d'Abel, portant le nom de Niels Henrik Abel, est un outil central de l'étude des séries entières.

Énoncé

La démonstration repose sur la méthode classique de sommation par parties, équivalente à l'intégration par parties pour les intégrales.

Remarque : dans le cas où la série $\sum a_n{z}_0^n$ est absolument convergente, le résultat est trivial. En effet, sous cette hypothèse, $\sum a_n{z}^n$ converge même normalement sur le disque fermé de centre $0$ et de rayon $\left|z_0\right|$.

Exemples

• Soit la série de Mercator$f(x)=-\sum _{n\ge 1}\frac{(-x{)}^n}{n}=\ln (1+x)$ pour $|x|<1$.Comme la série harmonique alternée$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n}{n}$ converge (d'après le critère de convergence des séries alternées), on déduit sa somme du théorème d'Abel :$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n}{n}=-\underset{1^{-}}{\lim }f=-\ln 2$.
• Soit $g(x)=\sum _{n\ge 0}\frac{(-1{)}^n{x}^{2n+1}}{2n+1}=\arctan x$ pour $|x|<1$.Encore par le critère de convergence des séries alternées, on peut affirmer que $\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n}{2n+1}$ converge, d'où la formule de Leibniz :$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n}{2n+1}=\underset{1^{-}}{\lim }g=\arctan 1=\frac{\pi }{4}$.
• Soient $\mathrm{\Sigma }{a}_n$ et $\mathrm{\Sigma }{b}_n$ deux séries convergentes et $\mathrm{\Sigma }{c}_n$ leur produit de Cauchy :$c_n=\sum _{i+j=n}{a}_i{b}_j$.On déduit du théorème d'Abel que si la série $\mathrm{\Sigma }{c}_n$ converge alors sa somme est égale au produit des deux sommes $A=\mathrm{\Sigma }{a}_n$ et $B=\mathrm{\Sigma }{b}_n$ :$\mathrm{\Sigma }{c}_n=C\Rightarrow C=AB$.

Réciproque partielle

Tauber a démontré en 1897 que sous l'hypothèse a_n = o(1/n), si la limite radiale existe, alors la série converge et lui est égale. Ce résultat a été amélioré par Littlewood : l'hypothèse a_n = O(1/n) suffit. Le théorème taubérien de Hardy-Littlewood en est une généralisation.

Articles connexes

• Série divergente
• Théorèmes abéliens et taubériens