Nombre premier de Wieferich
En mathématiques, un nombre premier de Wieferich est un nombre premier p tel que pModèle:2 divise 2Modèle:Exp – 1 (d'après le petit théorème de Fermat, tout nombre premier Modèle:Nobr divise, entre autres, 2Modèle:Exp – 1). Les nombres premiers de Wieferich furent décrits en premier par Arthur Wieferich en 1909 dans ses travaux[1] relatifs au dernier théorème de Fermat.
La recherche des nombres premiers de Wieferich
Les seuls nombres premiers de Wieferich connus sont 1093 et 3511 (Modèle:OEIS), découverts par Waldemar Meissner en 1913[2] et Modèle:Lien en 1922[3], respectivement ; si d'autres existent, ils doivent être supérieurs à 1,47 × 10Modèle:17 (meilleur résultat connu en 2014)[4]Modèle:,[5]. On ignore si l'ensemble des nombres premiers de Wieferich est fini ou infini. Joseph H. Silverman a seulement pu démontrer, en 1988[6], que si la conjecture abc est vraie, alors pour tout entier a > 1, il existe une infinité de nombres premiers p tel que pModèle:2 ne divise pas aModèle:Exp – 1 (et donc qu'il existe une infinité de nombres premiers qui ne sont pas de Wieferich).
Propriétés des nombres premiers de Wieferich
On sait qu'un facteur premier p d'un nombre de Mersenne MModèle:Ind = 2Modèle:Exp – 1 ne peut être premier de Wieferich que si pModèle:2 divise MModèle:Ind ; on en déduit immédiatement qu'aucun nombre de Mersenne premier n'est premier de Wieferich. Aussi, si p est un nombre premier de Wieferich, alors .
Les nombres premiers de Wieferich et le dernier théorème de Fermat
Le théorème suivant connectant les nombres premiers de Wieferich et le dernier théorème de Fermat fut prouvé par Wieferich en 1909 :
- Soit p un nombre premier, et soient x, y, z des entiers tels que xModèle:Exp + yModèle:Exp + zModèle:Exp = 0 et que p ne divise pas le produit xyz. Alors p est un nombre premier de Wieferich.
En 1910, Mirimanoff put étendre le théorème en montrant que, si les hypothèses du théorème sont vraies pour un certain nombre premier p, alors pModèle:Exp doit aussi diviser 3Modèle:Exp-1.
Notes et références
Modèle:Traduction/Référence Modèle:Références
Voir aussi
Articles connexes
Liens externes
- Modèle:Lien web
- Modèle:MathWorld
- Modèle:En (Modèle:Date-) Latest update on the Wieferich, Wilson, Wall-Sun-Sun (Fibonacci Wieferich) and Wolstenholme search
- Modèle:En Wieferich@Home
- ↑ Modèle:Article.
- ↑ Modèle:De W. Meissner, « Über die Teilbarkeit von 2p − 2 durch das Quadrat der Primzahl p = 1093 », Sitzungsber. Akad. d. Wiss. Berlin, 1913, p. 663-667.
- ↑ Modèle:Article.
- ↑ Modèle:Article.
- ↑ Modèle:En Sur PrimeGrid : résumé de l'historique ; état actuel de la recherche
- ↑ Modèle:En J. H. Silverman, « Wieferich's criterion and the abc-conjecture », Journal of Number Theory, vol. 30, n° 2, 1988, p. 226-237.