Fonction polygamma

Fichier:Polygamma function.png

Tracé de la fonction polygamma le long de l'axe des réels avec en orange m = 0, en jaune m = 1, en vert m = 2, en rouge m = 3 et en bleu m = 4.

En mathématiques, la fonction polygamma d'ordre m est une fonction spéciale notée ${\psi }_m(z)$ ou ${\psi }^{(m)}(z)$ et définie comme la m+1Modèle:E dérivée du logarithme de la fonction gamma $\mathrm{\Gamma }(z)$ :

${\psi }_m(z)={\left(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}\right)}^{m+1}\ln \mathrm{\Gamma }(z)$.

Ce qui équivaut à la dérivée mModèle:E de la dérivée logarithmique de la fonction gamma $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}\ln \mathrm{\Gamma }(z)=\frac{{\mathrm{\Gamma }}^{\prime }(z)}{\mathrm{\Gamma }(z)}$ :

${\psi }_m(z)={\psi }^{(m)}(z)={\left(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}\right)}^m\frac{{\mathrm{\Gamma }}^{\prime }(z)}{\mathrm{\Gamma }(z)}$

• ${\psi }_0(z)=\frac{{\mathrm{\Gamma }}^{\prime }(z)}{\mathrm{\Gamma }(z)}$ est la fonction digamma $\psi (z)$.

La dérivée de la fonction gamma est donc

${\mathrm{\Gamma }}^{\prime }(z)=\psi (z)\mathrm{\Gamma }(z)$.

• ${\psi }_1(z)={\psi }^{\prime }(z)$. On appelle parfois la fonction ${\psi }_1$ (ou ${\psi }^{(1)}$) la fonction trigamma.

La dérivée seconde de la fonction gamma est donc

${\mathrm{\Gamma }}^{″}(z)=({\psi }_0^2(z)+{\psi }_1(z))\mathrm{\Gamma }(z)$.

Définition par une intégrale

La fonction polygamma peut être représentée par :

${\psi }_m(z)=(-1{)}^{m+1}\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{t^m{\mathrm{e}}^{-zt}}{1-{\mathrm{e}}^{-t}}\mathrm{d}t.$

Ceci n'est valable que pour Modèle:Math et Modèle:Math. Pour Modèle:Math, voir la définition de la fonction digamma.

Représentation dans le plan complexe

La représentation du logarithme de la fonction gamma et des premiers ordres de la fonction polygamma dans le plan complexe est :

Fichier:Complex LogGamma.jpg	Fichier:Complex Polygamma 0.jpg	Fichier:Complex Polygamma 1.jpg	Fichier:Complex Polygamma 2.jpg	Fichier:Complex Polygamma 3.jpg	Fichier:Complex Polygamma 4.jpg
$\ln \mathrm{\Gamma }(z)$.	${\psi }_0(z)$.	${\psi }_1(z)$.	${\psi }_2(z)$.	${\psi }_3(z)$.	${\psi }_4(z)$.

Relation de récurrence

Elle vérifie la relation de récurrence

${\psi }_m(z+1)={\psi }_m(z)+(-1{)}^{m}m!z^{-(m+1)}.$

Théorème de multiplication

Le Modèle:Lien donne

$k^m{\psi }_{m-1}(kz)=\sum _{n=0}^{k-1}{\psi }_{m-1}(z+\frac{n}{k}),$

valable pour Modèle:Math ; et pour Modèle:Math, la formule de multiplication de la fonction digamma est :

$k(\psi (kz)-\ln (k))=\sum _{n=0}^{k-1}\psi (z+\frac{n}{k}).$

Représentation par série

La fonction polygamma a pour représentation en série :

${\psi }_m(z)=(-1{)}^{m+1}m!\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{(z+k{)}^{m+1}},$

qui n'est valable que pour Modèle:Math et pour tout complexe Modèle:Mvar qui n'est pas égal à un nombre entier négatif. Cette représentation peut être écrite avec la fonction zêta de Hurwitz par

${\psi }_m(z)=(-1{)}^{m+1}m!\zeta (m+1,z).$

On peut en conclure que la fonction zêta de Hurwitz généralise la fonction polygamma à n'importe quel ordre appartenant à ℂ \ (–ℕ).

Série de Taylor

La série de Taylor au point Modèle:Math est

${\psi }_m(z+1)=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^{m+k+1}(m+k)!\zeta (m+k+1)\frac{z^k}{k!},$

qui converge pour Modèle:Math. Ici, Modèle:Math est la fonction zêta de Riemann.

Références

• Modèle:En Milton Abramowitz et Irene Stegun, Handbook of Mathematical Functions, Dover Publications, 1964 Modèle:ISBN, section 6.4