Méthode de la sécante

En analyse numérique, la méthode de la sécante est un algorithme de recherche d'un zéro d'une fonction Modèle:Mvar.

La méthode

La méthode de la sécante est une méthode comparable à celle de Newton, où l'on remplace $f^{\prime }(x_n)$ par $\frac{f(x_n)-f(x_{n-1})}{x_n-x_{n-1}}.$ On obtient la relation de récurrence :

$x_{n+1}=x_n-\frac{x_n-x_{n-1}}{f(x_n)-f(x_{n-1})}f(x_n).$

L'initialisation nécessite deux points Modèle:Math et Modèle:Math, proches, si possible, de la solution recherchée. Il n'est pas nécessaire que Modèle:Math et Modèle:Math encadrent une racine de Modèle:Mvar. La méthode de la sécante peut aussi être vue comme une généralisation de la méthode de la fausse position, où les calculs sont itérés.

Démonstration

La courbe rouge représente la fonction Modèle:Mvar et le segment en bleu, la sécante.

Illustration des deux premières itérations, pour une autre courbe (ici, la méthode va diverger car Modèle:Math et Modèle:Math sont choisis trop loin de la solution).

Étant donnés Modèle:Mvar et Modèle:Mvar, on construit la droite passant par Modèle:Math et Modèle:Math. Son équation est :

$y-f(b)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}(x-b).$

On choisit Modèle:Mvar égal à l'abscisse du point d'ordonnée Modèle:Math de cette droite :

$f(b)+\frac{f(b)-f(a)}{b-a}(c-b)=0.$

Si l'on extrait Modèle:Mvar de cette équation, on retrouve la relation de récurrence citée plus haut :

$c=b-\frac{b-a}{f(b)-f(a)}f(b),$

avec

$c=x_{n+1},b=x_n,a=x_{n-1}.$

Convergence

La méthode peut diverger. La suite peut même ne pas être bien définie.

Cependant, si la fonction est dérivable de dérivée continue et que la suite converge, sa limite est bien une racine de Modèle:Mvar .

Sous l'hypothèse que la fonction Modèle:Mvar soit deux fois continûment différentiable et la solution soit une racine simple de Modèle:Mvar, on peut démontrer qu'il existe un intervalle autour de la racine tel que, si les valeurs initiales Modèle:Math et Modèle:Math sont prises dans cet intervalle, la suite est bien définie et converge vers la racine. La méthode aura un ordre de convergence de

$\phi =\frac{1+\sqrt{5}}{2}\simeq 1,618$ qui est le nombre d'or.

Modèle:Ref nec.

Voir aussi

• Méthode de Newton
• Méthode de la fausse position
• Interpolation linéaire

Bibliographie

• Modèle:Dieudonné2, chap. II
• Modèle:Mathworld