Équation de droite

Modèle:Ébauche En géométrie affine, une équation de droite, au sens large, permet de décrire l'ensemble des points appartenant à cette droite.

Une droite dans un plan affine de dimension 2 est déterminée par une équation cartésienne ; une droite dans un espace affine de dimension 3, est déterminée par un système de deux équations cartésiennes définissant deux plans sécants dont la droite est l'intersection ; etc.

Définition

L'équation d'une droite D est une ou plusieurs équations du premier degré à plusieurs inconnues (des coordonnées), et dont l'ensemble des solutions forme la droite D.

Dans le plan

Dans le plan, l'ensemble des points Modèle:Math formant D peut se représenter par une équation de la forme : Modèle:Retrait où Modèle:Mvar, Modèle:Mvar et Modèle:Mvar sont des constantes telles que Modèle:Math. Dans ce cas, Modèle:Retrait

Dans l'espace

Dans un espace à trois dimensions en coordonnées cartésiennes, on peut décrire l'ensemble des points Modèle:Math formant la droite D par :

• une équation paramétrique ;
• un système de deux équations de plans non parallèles ;
• un système redondant de trois équations, équivalent à deux d'entre elles.

Un système paramétrique

Si Modèle:Math est un point de la droite D et $\overrightarrow{u}\left(\begin{array}{c}a\\ b\\ c\end{array}\right)$ un vecteur directeur de D, cette droite peut être décrite à l'aide de l'équation paramétrique suivante : $\{\begin{array}{c}x=at+x_A\\ y=bt+y_A\\ z=ct+z_A\end{array}t\in ℝ$

Un système de deux équations

La droite D peut aussi être décrite par un système de deux équations de la forme : Modèle:Retrait où Modèle:Math sont des constantes telles que les triplets Modèle:Math et Modèle:Math soient non colinéaires, autrement dit non proportionnels (en particulier, aucun des deux triplets ne doit être nul).

$ax+by+cz+d=0$ et $a^{\prime }x+b^{\prime }y+c^{\prime }z+d^{\prime }=0$ sont les équations de deux plans non parallèles.

Un système redondant de trois équations

Dans l'espace euclidien orienté de dimension 3, un point Modèle:Math appartient à la droite passant par Modèle:Math et de vecteur directeur $\overrightarrow{u}\left(\begin{array}{c}a\\ b\\ c\end{array}\right)$ (non nul) si et seulement si le produit vectoriel $\overrightarrow{u}\wedge \overrightarrow{AM}$ est le vecteur nul (car $\overrightarrow{AM}$ et $\overrightarrow{u}$ sont alors colinéaires, $\overrightarrow{AM}=k\overrightarrow{u}$). Plus généralement, dans tout espace affine de dimension 3, cette droite est déterminée par le système de trois équations

$\{\begin{array}{c}b(z-z_A)-c(y-y_A)=0\\ c(x-x_A)-a(z-z_A)=0\\ a(y-y_A)-b(x-x_A)=0,\end{array}$

qui est redondant car équivalent à deux d'entre elles. En effet, si par exemple Modèle:Math la première équation se déduit des deux autres :

$(z-z_A=\frac{c}{a}(x-x_A)\text{ et }y-y_A=\frac{b}{a}(x-x_A))\Rightarrow b(z-z_A)-c(y-y_A)=(b\frac{c}{a}-c\frac{b}{a})(x-x_A)=0.$

Cas particuliers

Dans le plan, une droite parallèle à l'axe des abscisses (horizontale) a une équation de la forme : Modèle:Retrait

De même, une droite parallèle à l'axe des ordonnées (verticale) a une équation de la forme : Modèle:Retrait

Recherche d'une équation de droite dans le plan

Par résolution d'un système d'équations

Soient deux points non confondus du plan, Modèle:Math et Modèle:Math.

Si la droite passant par ces deux points n'est pas verticale ($u=u^{\prime }$), son équation est $y=ax+b$.

Pour trouver son équation, il faut résoudre le système : Modèle:Retrait

On a $a=\frac{v^{\prime }-v}{u^{\prime }-u}$ (coefficient directeur).

Pour trouver la constante Modèle:Mvar (ordonnée à l'origine), il suffit de remplacer les variables Modèle:Mvar et Modèle:Mvar respectivement par Modèle:Mvar et Modèle:Mvar (ou Modèle:Mvar et Modèle:Mvar).

On a alors $v=au+b\iff b=v-au$.

D'où, en replaçant dans l'équation de droite, on a : $y=ax+v-au\iff y=a(x-u)+v$(factorisation)

En replaçant Modèle:Mvar par sa valeur (coefficient directeur), l'équation de la droite est finalement $\left(M{M}^{\prime }\right):y=\frac{v^{\prime }-v}{u^{\prime }-u}(x-u)+v$

(Dans le cas particulier $v^{\prime }=v$, on trouve ainsi la droite horizontale d'équation $y=v$.)

Ou plus généralement, on peut vérifier que la droite d'équation $ax+by+c=0$ avec Modèle:Retrait est une droite passant par les points $M(u,v)$ et $M^{\prime }(u^{\prime },v^{\prime })$ quelles que soient leurs coordonnées.

Par colinéarité de deux vecteurs

Dans le plan, deux points distincts Modèle:Mvar et Modèle:Mvar déterminent une droite $\left(AB\right)$.

$M(x,y)$ est un point de cette droite si et seulement si les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AM}$ sont colinéaires (on obtiendrait la même équation finale en intervertissant les rôles de A et B).

On obtient l'équation de la droite en écrivant Modèle:Retrait

Finalement, l'équation de la droite $\left(AB\right)$ est : Modèle:Retrait

Lorsque $x_B\ne x_A$, on aboutit à la même équation en raisonnant sur le coefficient directeur et en écrivant : Modèle:Retrait équivalent à : Modèle:Retrait

Lorsque $x_B=x_A$, la droite a simplement pour équation $x=x_A$.

Par orthogonalité de deux vecteurs

Soient A un point du plan euclidien et $\overrightarrow{n}$ un vecteur non nul. La droite passant par A et de vecteur normal $\overrightarrow{n}$ est l'ensemble des points M du plan tels que : $\overrightarrow{AM}\cdot \overrightarrow{n}=0.$

Remarques

• Une droite peut avoir une infinité d'équations qui la représentent.
• Dans le plan, toute droite admet une équation (dite cartésienne) de la forme : $ax+by+c=0$.

Voir aussi

• Propriétés métriques des droites et des plans
• Équation linéaire