Suite arithmético-géométrique

Modèle:Confusion En mathématiques, une suite arithmético-géométrique est une suite satisfaisant une relation de récurrence affine, généralisant ainsi les définitions des suites arithmétiques et géométriques.

Définition

On se place dans un corps commutatif K quelconque, par exemple ℝ (corps des réels) ou ℂ (corps des complexes). Une suite (uModèle:Ind)Modèle:Ind à valeurs dans K est dite arithmético-géométrique s'il existe deux éléments Modèle:Math et Modèle:Math de K tels que la suite vérifie la relation de récurrence suivante :

$\mathrm{\forall }n\in \mathbb{N},u_{n+1}=a{u}_n+b$.

Remarque

On peut toujours ramener l'étude d'une suite (uModèle:Ind)Modèle:Ind à celle d'une suite (vModèle:Ind)Modèle:Ind en posant vModèle:Ind = uModèle:Ind. La suite (uModèle:Ind) vérifie une relation de la forme ci-dessus pour tout n ≥ nModèle:Ind si et seulement si la suite (vModèle:Ind)Modèle:Ind est arithmético-géométrique.

Terme général

Cas où Modèle:Math

Pour le cas Modèle:Math, on a affaire à une suite arithmétique, donc

$\mathrm{\forall }n\in \mathbb{N}{u}_n=u_0+nb$.

Cas où Modèle:Math

En posant

$r=\frac{b}{1-a}$

on a :

$\mathrm{\forall }n\in \mathbb{N}{u}_n=a^n(u_0-r)+r$

(y compris si Modèle:Mvar et Modèle:Mvar sont nuls, avec la [[0^0|convention 0Modèle:Exp = 1]]).

D'après la remarque qui suit la définition, on en déduit que, plus généralement :

$\mathrm{\forall }p\in \mathbb{N},\mathrm{\forall }n\ge p,u_n=a^{n-p}(u_p-r)+r$.

Somme des premiers termes

Si Modèle:Math, toujours en posant Modèle:Math, la somme des n premiers termes (de 0 à n – 1) est :

$S_n=\sum _{k=0}^{n-1}{u}_k=(u_0-r)\frac{1-a^n}{1-a}+nr$.

On en déduit n'importe quelle somme de termes consécutifs : sous les mêmes hypothèses, pour Modèle:Math,

$\sum _{k=p}^{n-1}{u}_k=S_n-S_p=(u_p-r)\frac{a^p-a^n}{1-a}+(n-p)r$.

Convergence

Le terme général et les considérations sur les suites géométriques permettent de déterminer la limite d'une telle suite suivant les valeurs de Modèle:Mvar et, éventuellement, le signe de Modèle:Math (si Modèle:Math et Modèle:Math).

Dans le cas où Modèle:Math, la limite de la suite est Modèle:Mvar quelle que soit la valeur initiale. La limite d'une suite de ce type est donc indépendante des conditions initiales. Cette particularité est à mettre en regard avec les suites à récurrence non linéaire (suite logistique) qui peuvent, elles, être très sensibles aux conditions initiales. Dans une chaîne de Markov, cela prouve que la chaîne converge vers une chaîne stationnaire.

Utilisation

Les suites arithmético-géométriques se rencontrent dans la modélisation de certains flux de population (apport fixe et fuite proportionnelle).

Exemple : apport de 10 et fuite de 5 % :

$u_{n+1}=u_n+10-0,05u_n$.

Elles se rencontrent aussi dans les plans de remboursement : un capital Modèle:Formule emprunté à un taux mensuel Modèle:Formule et remboursé par mensualités Modèle:Formule conduit à l'élaboration d'un plan de remboursement. Si Modèle:Formule représente le capital restant dû au bout de Modèle:Formule mensualités, la suite Modèle:Formule est une suite arithmético-géométrique de relation de récurrence :

$R_{n+1}=(1+t)R_n-M$.

On les trouve aussi dans une chaîne de Markov à deux états A et B dont les probabilités sont, à l'étape $n$, $p_n$ et $q_n$ avec $p_n+q_n=1$. La matrice stochastique est alors :

$\left(\begin{array}{cc}a& 1-a\\ 1-b& b\end{array}\right)$.

De la relation

$(p_{n+1},q_{n+1})=(p_n,q_n)\left(\begin{array}{cc}a& 1-a\\ 1-b& b\end{array}\right)$

on déduit que :

$p_{n+1}=a{p}_n+(1-b)q_n$.

Comme d'autre part

$q_n=1-p_n$,

en remplaçant on obtient la relation de récurrence:

$p_{n+1}=(a+b-1)p_n+1-b$.

Voir aussi

• Suite arithmétique
• Suite géométrique