Théorème des gendarmes

Deux fonctions Modèle:Formule et Modèle:Formule qui admettent la même limite Modèle:Formule au point Modèle:Formule, et une fonction Modèle:Formule prise en « étau » entre Modèle:Formule et Modèle:Formule dans le voisinage de Modèle:Formule. Selon le théorème du sandwich, Modèle:Formule admet Modèle:Formule comme limite en Modèle:Formule.

En analyse, le théorème des gendarmes (également appelé théorème de l'étau, théorème d'encadrement ou théorème du sandwich) est un théorème concernant la limite d'une fonction. Selon ce théorème, si deux fonctions (Modèle:Formule et Modèle:Formule) admettent la même limite en un point Modèle:Formule, et qu'une troisième fonction Modèle:Formule est prise en « étau » (ou « encadrée » ou « prise en sandwich ») entre Modèle:Formule et Modèle:Formule dans le voisinage de Modèle:Formule, alors Modèle:Formule admet en Modèle:Formule une limite, égale à la limite commune de Modèle:Formule et Modèle:Formule.

Le théorème des gendarmes est souvent utilisé pour déterminer la limite d'une fonction via la comparaison avec deux autres fonctions dont la limite est connue ou facilement calculable.

Énoncé

Soient :

• Modèle:Math un espace topologique ;
• Modèle:Math une partie de Modèle:Math ;
• $a$ un point de Modèle:Math adhérent à Modèle:Math ;
• $f$, $g$ et $h$ trois fonctions de Modèle:Math dans [[Droite réelle achevée|Modèle:Surligner = ℝ ∪ Modèle:Math]] ;
• $L$ un élément de Modèle:Surligner.

Origine du nom

Modèle:Section à sourcer Pour comprendre le nom familier du théorème, il faut assimiler les fonctions Modèle:Formule et Modèle:Formule à des gendarmes et Modèle:Formule à un suspect. Ce dernier, encadré par les deux gendarmes, est obligé de les suivre jusqu'à la gendarmerie Modèle:Formule. En Italie, on l'appelle « théorème des carabiniers », « théorème de l'affrontement », ou encore « théorème du sandwich ». Il est également appelé « théorème d'existence de limites par encadrement » dans le supérieur car son résultat phare est l'existence de la limite plus que sa valeur. Il existe en effet d'autres théorèmes, comme celui de passage à la limite dans une inégalité, qui permettent d'obtenir la valeur d'une limite si l'on connaît son existence.

Cas particuliers

• Si $f\le g$ et $\underset{a}{\lim }f=+\mathrm{\infty }$, les hypothèses du théorème sont satisfaites pour $L=+\mathrm{\infty }$, en posant $h:x\mapsto +\mathrm{\infty }$.
• Si $g\le h$ et $\underset{a}{\lim }h=-\mathrm{\infty }$, les hypothèses du théorème sont satisfaites pour $L=-\mathrm{\infty }$, en posant $f:x\mapsto -\mathrm{\infty }$.
• L'ensemble Modèle:Math peut être un intervalle réel et le point Modèle:Math un élément de cet intervalle, ou l'une de ses deux bornes (finies ou non).
• On peut aussi appliquer le théorème avec $A=\mathbb{N}$ ou $\{n\in \mathbb{N}\mid n>N\}$ et $a=+\mathrm{\infty }$ : si Modèle:Formule, Modèle:Formule et Modèle:Formule sont trois suites réelles, telles que pour tout Modèle:FormuleModèle:Retraitavec $L$ réel ou infini.

Exemples

Premier exemple

Un exemple classique d'application du théorème des gendarmes est :

$\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }\frac{\sin x}{x}=0$

ou, ce qui est équivalent :

$\underset{y\to 0}{\lim }y\sin (\frac{1}{y})=0$.

A fortiori, $\underset{y\to 0}{\lim }{y}^2\sin (\frac{1}{y})=0$, ce qui peut également se démontrer directement, toujours par le théorème des gendarmes.

Deuxième exemple

Modèle:Refsou de détermination de limite à l'aide du théorème des gendarmes est la démonstration de l'égalité suivante :

$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin x}{x}=1$.

Elle découle du théorème des gendarmes par l'encadrement classique

$\cos x\le \frac{\sin x}{x}\le 1$

pour Modèle:Mvar (non nul) suffisamment proche de 0.

Cette limite est utilisée pour démontrer que la dérivée de la fonction sinus est la fonction cosinus.

Voir aussi

Article connexe

Théorème du sandwich (variante)

Liens externes

• https://www.ljll.math.upmc.fr/~nardoni/TDagrl3/TD1cor.pdf
• http://www.facsa.uliege.be/upload/docs/application/pdf/2012-07/analyse_-_synthese.pdf