Théorème du sandwich (variante)

Modèle:Voir homonymes Ceci est un théorème qui concerne les dérivées (ou différentielles) de fonctions à valeurs réelles, et qui se déduit du théorème du sandwich usuel — ou théorème des gendarmes — de passage à la limite dans un encadrement.

Démonstration (du cas général)

Pour $h$ suffisamment petit,

$m(a+h)\le f(a+h)\le M(a+h)$

d'où (par les hypothèses 2 et 3)

$m(a+h)-m(a)-\mathrm{d}{m}_a(h)\le f(a+h)-f(a)-\mathrm{d}{m}_a(h)\le M(a+h)-M(a)-\mathrm{d}{M}_a(h)$

donc

$f(a+h)-f(a)-\mathrm{d}{m}_a(h)=o(\Vert h\Vert )$,

d'où le résultat.