Théorème de Schwarz

Le théorème de Schwarz ou de Clairaut est un théorème d'analyse portant sur les dérivées partielles secondes d'une fonction de plusieurs variables. Sous certaines hypothèses, il dit que l'ordre des deux dérivations : dériver par rapport à la variable y d'abord, puis par rapport à une variable x revient au même que dériver par rapport à la variable x d'abord puis par rapport à la variable y. Autrement dit :

$\frac{\partial }{\partial x}\left(\frac{\partial f}{\partial y}\right)(a)=\frac{\partial }{\partial y}\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right)(a)$

Il apparaît pour la première fois dans un cours de calcul différentiel donné par Weierstrass en 1861Modèle:Référence nécessaire auquel assistait alors Hermann Schwarz à Berlin.

Énoncé

La symétrie de la hessienne signifie que le résultat d'une dérivation partielle à l'ordre 2 par rapport à deux variables ne dépend pas de l'ordre dans lequel se fait la dérivation par rapport à ces deux variables :

$\frac{\partial }{\partial x}\left(\frac{\partial f}{\partial y}\right)(a)=\frac{\partial }{\partial y}\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right)(a)$.

Ce théorème est parfois appelé par les anglophones Modèle:Citation étrangère (théorème de Young), nom qui désigne également une extension aux dérivées d'ordre supérieur.

Un contre-exemple

La fonction Modèle:Math ne possède pas de dérivée seconde en Modèle:Math.

Le résultat ci-dessus peut tomber en défaut lorsque les hypothèses ne sont pas vérifiées. Un premier contre-exemple, assez compliqué, a été donné par Schwarz lui-même en 1873Modèle:Référence nécessaire. Un deuxième contre-exemple, plus simple, est proposé par Peano en 1884. Il s'agit de la fonction définie par :

$f(x,y)=\{\begin{array}{cc}\frac{xy(x^2-y^2)}{x^2+y^2}& \text{si }(x,y)\ne (0,0)\\ 0& \text{sinon,}\end{array}$

qui vérifie

$\frac{{\partial }^{2}f}{\partial y\partial x}(0,0)=-1\text{tandis que}\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x\partial y}(0,0)=1$.

Application aux formes différentielles

Considérons, en dimension 2, la 1-forme différentielle exacte suivante, où Modèle:Math est de classe CModèle:2 :

$\mathrm{d}f=a(x,y)\mathrm{d}x+b(x,y)\mathrm{d}y.$

Alors,

$a(x,y)=\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)\text{ et }b(x,y)=\frac{\partial f}{\partial y}(x,y).$

En appliquant le théorème de Schwarz, on en déduit :

$\frac{\partial b}{\partial x}(x,y)=\frac{\partial a}{\partial y}(x,y).$

Ceci est donc une condition nécessaire d'exactitude de la forme différentielle. Une forme différentielle vérifiant cette condition nécessaire est dite fermée.

Plus généralement, en dimension n : Modèle:Énoncé ce qui, dans le cas particulier d'une 1-forme Modèle:Math, s'écrit :

$\text{si }\omega =\mathrm{d}f\text{ alors }\mathrm{d}\omega :=\sum _{i<j}(\frac{\partial {\omega }_j}{\partial x_i}-\frac{\partial {\omega }_i}{\partial x_j})\mathrm{d}{x}^i\wedge \mathrm{d}{x}^j=0.$

Voir aussi

Articles connexes

Lemme de Poincaré

Liens externes

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