Univers de Gödel

Modèle:Confusion L'univers de Gödel est une solution aux équations de la relativité générale publiée par le mathématicien Kurt Gödel en 1949.

Description

L'univers de Gödel est un modèle cosmologiqueModèle:Sfn. Cette solution possède plusieurs propriétés remarquables. Elle décrit un univers en rotation, c'est-à-dire un univers qui possède une direction privilégiée que l'on peut localement assimiler à un axe de rotation. Par ailleurs, la structure de l'espace-temps permet l'existence de courbes fermées de genre tempsModèle:SfnModèle:,Modèle:Sfn. Ces travaux sont à l'origine de la recherche d'un plus grand nombre de solutions exactes aux équations d'Einstein.

Métrique de l'univers de Gödel

La métrique de GödelModèle:Sfn est une solution exacteModèle:Sfn de l'équation d'Einstein avec constante cosmologiqueModèle:Sfn. Elle décrit un espace quadri-dimensionnelModèle:SfnModèle:,Modèle:Sfn lorentzien (tout comme notre espace-temps) empli de matière non relativiste de pression nulle et d'une constante cosmologique. La métrique (ou l'élément de longueur) de cet espace s'écrit

$\mathrm{d}{s}^2=-\mathrm{d}{t}^2+\mathrm{d}{x}^2-\frac{1}{2}\exp (2\sqrt{2}\omega x)\mathrm{d}{y}^2+\mathrm{d}{z}^2-2\exp (\sqrt{2}\omega x)\mathrm{d}t\mathrm{d}y,$

où $\omega$ est une constante réelle représentant la vorticité du fluide qui est au repos par rapport aux coordonnées $x$, $y$, $z$. La densité d'énergie $\rho$ du fluide et la constante cosmologique $\mathrm{\Lambda }$ sont reliées à la vorticité par

$4\pi \rho =-\mathrm{\Lambda }={\omega }^2$

dans un système d'unités tel que la vitesse de la lumière et la constante de gravitation valent 1.

Propriétés

L'univers de Gödel représente un espace homogèneModèle:Sfn, c'est-à-dire que tous ses points sont équivalents.

Sa principale particularité est qu'il comporte des courbes de genre temps fermées. Par le changement de coordonnées

$\exp (\sqrt{2}\omega x)=\cosh 2r+\cos \varphi \sinh 2r,$

$\omega y\exp (\sqrt{2}\omega x)=\sin \varphi \sinh 2r,$

$\tan (\frac{1}{2}(\phi +\omega t-\sqrt{2}t))=\exp (-2r)\tan \frac{1}{2}\phi ,$

l'élément de longueur se réécrit

$\mathrm{d}{s}^2=2{\omega }^{-2}(-\mathrm{d}t{\text{'}}^2+\mathrm{d}{r}^2-({\sinh }^{4}r-{\sinh }^{2}r)\mathrm{d}{\phi }^2-2\sqrt{2}{\sinh }^{2}r\mathrm{d}\phi \mathrm{d}{t}^{\prime })+\mathrm{d}{z}^2.$

Le fluide est toujours au repos par rapport aux coordonnées $r$, $\phi$, $z$ et l'espace autour de l'origine est symétrique par rapport à l'axe $r=0$. L'espace étant homogène, cette propriété se retrouve pour tous les autres points. En $r=0$, le cône de lumière futur est orienté vers le haut, tout comme dans un système de coordonnées polaires ordinaire dans l'espace de Minkowski, et n'inclut pas les lignes de coordonnées de $r$ et $\phi$. À mesure que l'on considère des points pour des valeurs plus grandes de $r$, les cônes de lumière s'inclinent peu à peu jusqu'à inclure la ligne de coordonnée de $\phi$ à partir de $r=\ln (1+\sqrt{2})$. Les lignes de coordonnées de $\phi$ sont donc pour les grandes valeurs de $r$ des courbes de genre temps fermées. Pour cette raison, l'espace de Gödel n'est pas considéré comme une solution physiquement acceptable des équations d'Einstein.

Voir aussi

Bibliographie

• Modèle:ArticleModèle:Commentaire biblio SRL
• Modèle:Livre HawkingEllis, section 5.7, Modèle:P.
• Palle Yourgrau, Einstein/Gödel quand deux génies refont le monde, Dunod, 2005 Modèle:ISBN
• Modèle:Chapitre.
• Modèle:Chapitre.
• Modèle:Ouvrage.
• Modèle:Chapitre.
• Modèle:Article.

Liens externes

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