Théorème d'Alasia

Modèle:ÉbaucheModèle:À sourcerLe théorème d'Modèle:Lien concerne la géométrie du triangle. Il met en relation les côtés d'un triangles et ses point de Brocard. Il s'énonce comme suit: Modèle:Énoncé

Démonstration

En notant respectivement $a,b,c$ les longueurs $BC,AC,AB$, les points $\mathrm{\Omega },{\mathrm{\Omega }}^{\prime }$ ont alors pour coordonnées barycentriques $(\frac{1}{b^2};\frac{1}{c^2};\frac{1}{a^2})$ et $(\frac{1}{c^2};\frac{1}{a^2};\frac{1}{b^2})$ respectivement. Ainsi, $\overrightarrow{\mathrm{\Omega }{\mathrm{\Omega }}^{\prime }}$ est colinéaire à $b^2(c^2-a^2)\overrightarrow{AB}+c^2(a^2-b^2)\overrightarrow{AC}$.

Si $a=b$ alors $\overrightarrow{\mathrm{\Omega }{\mathrm{\Omega }}^{\prime }}$ est colinéaire à $b^2(c^2-a^2)\overrightarrow{AB}$. Donc $(\mathrm{\Omega }{\mathrm{\Omega }}^{\prime })$ est parallèle à $(AB)$. Réciproquement si $(\mathrm{\Omega }{\mathrm{\Omega }}^{\prime })$ est parallèle à $(AB)$, comme $\overrightarrow{\mathrm{\Omega }{\mathrm{\Omega }}^{\prime }}$ est colinéaire à $b^2(c^2-a^2)\overrightarrow{AB}+c^2(a^2-b^2)\overrightarrow{AC}$, on a $c^2(a^2-b^2)\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{0}$ donc $a=b$.

Une autre démonstration utilise les propriétés du point de Lemoine.

Voir aussi

Bibliographie

• Modèle:Ouvrage

• Modèle:Ouvrage

Articles connexes

• Points de Brocard

Liens externes

• Modèle:Lien externe