Points de Brocard

En géométrie, les points de Brocard sont deux points remarquables associés à un triangle, images l'un de l'autre par changement d'orientation du plan. Ils forment la première « paire bicentrique » P(1) dans l'encyclopédie de Klimberling^[1].

Historique

Le problème a été posé en 1875 par Henri Brocard comme question dans les Nouvelles Annales de mathématiques^[2], et résolu la même année par C. Chadu^[3], puis étudié plus longuement par Brocard en 1877^[4]. L'appellation "points de Brocard" a été proposée par Joseph Neuberg en 1881^[5]. Cependant, la formule de l'angle de Brocard avait déjà été trouvée par August Leopold Crelle en 1816^[6]Modèle:,^[7]Modèle:,^[8], et Charles Jacobi avait poursuivi l'étude en 1825 ^[9].

Définition

Le premier point de Brocard d'un triangle Modèle:Mvar est le point Modèle:Mvar tel que les angles $\hat{P A B},$ $\hat{P B C}$ et $\hat{P C A}$ orientés positivement soient égaux.

Le second point de Brocard du triangle est le point PModèle:' tel que les angles $\hat{P^{'} B A},$ $\hat{P^{'} C B}$ et $\hat{P^{'} A C}$ orientés positivement soient égaux.

L'existence de ces deux points est une conséquence de la version trigonométrique du théorème de Ceva.

Angle de Brocard

Les angles $\hat{P A B},$ $\hat{P B C},$ $\hat{P C A},$ $\hat{P^{'} B A},$ $\hat{P^{'} C B}$ et $\hat{P^{'} A C}$ sont tous égaux à lModèle:'angle de Brocard du triangle, noté $ω$ , pouvant être calculé à partir d'une des formules :

$\cot ω = \cot \hat{A} + \cot \hat{B} + \cot \hat{C},$

$\tan ω = \frac{4 S}{a^{2} + b^{2} + c^{2}},$
$\sin ω = \frac{2 S}{\sqrt{b^{2} c^{2} + a^{2} c^{2} + a^{2} b^{2}}},$
$1 / \sin^{2} ω = 1 / \sin^{2} \hat{A} + 1 / \sin^{2} \hat{B} + 1 / \sin^{2} \hat{C}$ ^[10].

où Modèle:Mvar désigne l'aire du triangle, Modèle:Mvar les longueurs de ses côtés, $\hat{A}, \hat{B}, \hat{C}$ ses angles en Modèle:Mvar .

Droites de Brocard

On appelle droite de Brocard l'une quelconque des six droites joignant un sommet du triangle à l'un des points de Brocard^[11].

Elles ne sont pas à confondre avec lModèle:'axe de Brocard, qui est la droite reliant le centre du cercle circonscrit au triangle à son point de Lemoine^[12].

Coordonnées des points de Brocard

Les coordonnées barycentriques du premier et du deuxième point de Brocard sont respectivement : $(\frac{1}{b^{2}}, \frac{1}{c^{2}}, \frac{1}{a^{2}})$ et $(\frac{1}{c^{2}}, \frac{1}{a^{2}}, \frac{1}{b^{2}})$ .

Leurs coordonnées trilinéaires sont respectivement : $(\frac{c}{b} : \frac{a}{c} : \frac{b}{a})$ et $(\frac{b}{c} : \frac{c}{a} : \frac{a}{b})$ .

Le milieu des deux points, référencé X(39) dans l'encyclopédie de Kimberling, a pour coordonnées barycentriques : $(a^{2} (b^{2} + c^{2}), b^{2} (c^{2} + a^{2}), c^{2} (a^{2} + b^{2}))$ . Ce point milieu a quelques propriétés remarquables : il est sur l'axe de Brocard et est le centre de plusieurs cercles remarquables du triangle, comme ses cercles de Gallatly, de demi-Moses et de Moses^[13].

Constructions

Par des droites isoclines

En considérant que le triangle Modèle:Mvar est dans le sens direct, les trois droites isoclines issues respectivement de Modèle:Mvar faisant un même angle Modèle:Mvar avec les droites Modèle:Math découpent un triangle Modèle:Math qui reste semblable au triangle Modèle:Mvar ^[10]. Modèle:Démonstration/début Dans le triangle Modèle:Math, l'angle en Modèle:Mvar vaut $\hat{A} - t$ , donc l'angle en Modèle:Math vaut $π - t - (\hat{A} - t) = \hat{A}$ , donc dans le triangle Modèle:Math, l'angle en Modèle:Math est égal à $\hat{A}$ . Par analogie, on a $\hat{C (t) B (t) A (t)} = \hat{B}$ et $\hat{A (t) C (t) B (t)} = \hat{C}$ , et les triangles sont bien semblables. Modèle:Démonstration/fin Lorsque Modèle:Mvar est égal à Modèle:Math, ce triangle se réduit au premier point de Brocart Modèle:Mvar.

Or, d'après le théorème de l'angle inscrit, le point Modèle:Math décrit le cercle passant par Modèle:Mvar et Modèle:Mvar et tangent à (Modèle:Mvar) (son centre est donc à l'intersection de la médiatrice de [[[:Modèle:Mvar]]] et de la perpendiculaire à (Modèle:Mvar) passant par B), le point Modèle:Math décrit le cercle passant par Modèle:Mvar et Modèle:Mvar et tangent à (Modèle:Mvar) et le point Modèle:Math décrit le cercle passant par Modèle:Mvar et Modèle:Mvar et tangent à (Modèle:Mvar). Ceci permet de construire le point P comme intersection de trois cercles ^[14].

De façon similaire, le deuxième point de Brocard du triangle Modèle:Mvar s'obtient comme intersection du cercle passant par Modèle:Mvar et Modèle:Mvar et tangent à (Modèle:Mvar), du cercle passant par Modèle:Mvar et Modèle:Mvar et tangent à (Modèle:Mvar) et du cercle passant par Modèle:Mvar et Modèle:Mvar et tangent à (Modèle:Mvar).

Points de Brocard d'un triangle, avec les cercles de construction.

Construction de Lemoine

Dans un article de 1885, Émile Lemoine propose une autre construction des points de Brocard à partir du point de Lemoine^[15].

Soit K le point de Lemoine du triangle ABC. On note AModèle:' l'intersection de (AK) et (BC), et on définit BModèle:' et CModèle:' de façon similaire.

La parallèle à (AC) passant par AModèle:' coupe (BC) en N, la parallèle à (BA) passant par BModèle:' coupe (CA) en L, et la parallèle à (CB) passant par CModèle:' coupe (AB) en M. Alors les droites (AL), (BM) et (CN) sont concourantes et se croisent au premier point de Brocard.
De même, la parallèle à (AB) passant par AModèle:' coupe (AC) en MModèle:', la parallèle à (BC) passant par BModèle:' coupe (BA) en NModèle:', et la parallèle à (CA) passant par CModèle:' coupe (CB) en LModèle:'. Alors les droites (ALModèle:'), (BMModèle:') et (CNModèle:') sont concourantes et se croisent au second point de Brocard.

Propriétés remarquables

Les deux points de Brocard sont conjugués isogonaux l'un de l'autre.
La médiane issue d'un sommet du triangle, la symédiane issue d'un second sommet et une des droites de Brocard issue d'un troisième sommet sont concourantes.

Application à la poursuite triangulaire

Modèle:Article détaillé

Trois chiens placés initialement aux sommets d'un triangle Modèle:Mvar se poursuivent dans le sens Modèle:Mvar poursuivant Modèle:Mvar, poursuivant Modèle:Mvar, poursuivant Modèle:Mvar ; R. K. Miller a déterminé en 1871^[10] que le triangle formé par les trois chiens reste semblable à lui-même si et seulement si les vitesses respectives de Modèle:Mvar sont proportionnelles à $b^{2} c, c^{2} a, a^{2} b$ .

Dans ce cas, le premier point de Brocard du triangle formé par les chiens reste fixe et les chiens se rencontrent simultanément en ce point ; de plus, les courbes décrites sont des spirales logarithmiques^[10], par définition tangentielle de ces dernières.

Troisième point de Brocard

Les coordonnées barycentriques des premier et second points de Brocard invitent à créer un troisième point de Brocard, dont les coordonnées barycentriques sont : $(\frac{1}{a^{2}}, \frac{1}{b^{2}}, \frac{1}{c^{2}})$ .

Ce point porte le numéro XModèle:Ind dans la nomenclature de Kimberling^[16]. Il est situé sur l'hyperbole de Kiepert.

Notes et références

Modèle:Références

Voir aussi

Articles connexes

Liens externes

Animation GeoGebra

Modèle:Palette Modèle:Portail

[1] Modèle:Lien web

[2] Modèle:Article

[3] Modèle:Article

[4] Modèle:Article

[5] Modèle:Article

[6] Modèle:Article

[7] Modèle:Ouvrage

[8] Modèle:Lien web

[9] Modèle:Ouvrage

[:0-10] 10,0 ^10,1 ^10,2 et ^10,3 Modèle:Article

[11] Modèle:Mathworld

[12] Modèle:Mathworld

[13] Modèle:Mathworld

[14] Modèle:Ouvrage

[15] Modèle:Article

[16] Encyclopédie ETC X76

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