Comatrice

En algèbre linéaire, la comatrice d'une matrice carrée Modèle:Mvar est une matrice carrée de même taille, dont les coefficients, appelés les cofacteurs de Modèle:Mvar, interviennent dans le développement du déterminant de Modèle:Mvar suivant une ligne ou une colonne. Si Modèle:Mvar est une matrice inversible, sa comatrice intervient également dans une expression de son inverse.

Dans cette page, Modèle:Mvar désigne une matrice carrée d'ordre Modèle:Mvar à coefficients dans un anneau commutatif Modèle:Mvar.

Définitions

Le cofacteur d'indice Modèle:Math de Modèle:Mvar est :

${(\mathrm{com}A)}_{i,j}\stackrel{\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{f}}{=}\det \left(A{\text{'}}_{i,j}\right)=(-1{)}^{i+j}\det \left(A_{i,j}\right)$, où

• Modèle:Math est la matrice carrée de taille Modèle:Mvar déduite de Modèle:Mvar en remplaçant la Modèle:Mvar-ème colonne par une colonne constituée uniquement de zéros, sauf un Modèle:Math sur la Modèle:Mvar-ème ligne ;
• Modèle:Math est la sous-matrice carrée de taille Modèle:Math déduite de Modèle:Mvar en supprimant la Modèle:Mvar-ème ligne et la Modèle:Mvar-ème colonne (son déterminant fait donc partie des mineurs de Modèle:Mvar).

La comatrice de Modèle:Mvar est la matrice de ses cofacteurs.

Formules de Laplace

Pierre-Simon de Laplace (1749-1827).

On peut calculer le déterminant de Modèle:Mvar en fonction des coefficients d'une seule colonne et des cofacteurs correspondants. Cette formule, dite formule de Laplace, permet ainsi de ramener le calcul d'un déterminant d'ordre Modèle:Mvar à celui de Modèle:Mvar déterminants d'ordre Modèle:Math.

Formules de développement d'un déterminant d'ordre Modèle:Mvar :

• par rapport à la colonne Modèle:Mvar :

  $\det A=\sum _{i=1}^n{a}_{i;j}(\mathrm{com}A{)}_{i,j}$ ;

• par rapport à la ligne Modèle:Mvar :

  $\det A=\sum _{j=1}^n{a}_{i;j}(\mathrm{com}A{)}_{i,j}$.

Généralisation

La formule suivante se déduit des formules de Laplace et les inclut :

$A{}^{\mathrm{t}}\mathrm{com}A=\left({}^{\mathrm{t}}\mathrm{com}A\right)A=(\det A){\mathrm{I}}_n$,

où Modèle:Math désigne la matrice identité de même taille Modèle:Mvar que Modèle:Mvar.

La matrice transposée de la comatrice est appelée matrice complémentaire de Modèle:Mvar. Notamment si Modèle:Math est inversible dans Modèle:Mvar, alors Modèle:Mvar est inversible dans Modèle:Math et son inverse est un multiple de la matrice complémentaire, ce qui veut dire qu'on a obtenu une formule pour l'inverse, ne nécessitant « que » des calculs de déterminants :

$A^{-1}=\frac{1}{\det A}{}^{\mathrm{t}}\mathrm{com}A$.

Cette formule n'a guère qu'un intérêt théorique car en pratique, elle est trop lourde pour calculer explicitement Modèle:Math dès que Modèle:Math et la méthode plus élémentaire à base d'opérations élémentaires sur les lignes (inversion par pivot de Gauss) est plus efficace, aussi bien pour l'humain que pour la machine.

Propriétés de la comatrice

• Compatibilité avec la transposition : Modèle:Math.
• Compatibilité avec le produit : Modèle:Math et pour toutes matrices carrées Modèle:Mvar et Modèle:Mvar d'ordre Modèle:Mvar, Modèle:Math.
• Rang (si Modèle:Mvar est un corps commutatif) :
  • si Modèle:Mvar est de rang Modèle:Mvar (Modèle:C.-à-d. Modèle:Mvar inversible), Modèle:Math aussi (jointe à la précédente, cette propriété assure que l'application « comatrice » se restreint en un automorphisme du groupe linéaire Modèle:Math) ;
  • si Modèle:Mvar est de rang Modèle:Math, avec Modèle:Math, Modèle:Math est de rang 1 ;
  • si Modèle:Mvar est de rang inférieur ou égal à Modèle:Math, Modèle:Math.
• Déterminant : si Modèle:Math, Modèle:Math.
• Comatrice de la comatrice : si Modèle:Math, Modèle:Math.
• Si Modèle:Math est le polynôme caractéristique de Modèle:Mvar et si Modèle:Mvar est le polynôme défini par Modèle:Math, alors : Modèle:Math.

Exemples

Matrices de taille (1,1)

La comatrice de toute matrice de taille (1,1) est la matrice identité Modèle:Math.

Matrices de taille (2,2)

$\mathrm{com}\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}d& -c\\ -b& a\end{array}\right)$.

Matrices de taille (3,3)

$\mathrm{com}\left(\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& & a_{13}\\ a_{21}& a_{22}& & a_{23}\\ a_{31}& a_{32}& & a_{33}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}+\left|\begin{array}{cc}{a}_{22}& a_{23}\\ a_{32}& a_{33}\end{array}\right|& -\left|\begin{array}{cc}{a}_{21}& a_{23}\\ a_{31}& a_{33}\end{array}\right|& +\left|\begin{array}{cc}{a}_{21}& a_{22}\\ a_{31}& a_{32}\end{array}\right|\\ -\left|\begin{array}{cc}{a}_{12}& a_{13}\\ a_{32}& a_{33}\end{array}\right|& +\left|\begin{array}{cc}{a}_{11}& a_{13}\\ a_{31}& a_{33}\end{array}\right|& -\left|\begin{array}{cc}{a}_{11}& a_{12}\\ a_{31}& a_{32}\end{array}\right|\\ +\left|\begin{array}{cc}{a}_{12}& a_{13}\\ a_{22}& a_{23}\end{array}\right|& -\left|\begin{array}{cc}{a}_{11}& a_{13}\\ a_{21}& a_{23}\end{array}\right|& +\left|\begin{array}{cc}{a}_{11}& a_{12}\\ a_{21}& a_{22}\end{array}\right|\end{array}\right)$.

On rappelle que $\left|\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right|=ad-bc$ (voir déterminant).

Variations de la fonction déterminant

On suppose ici que Modèle:Mvar est le corps des réels, et l'on s'intéresse à l'application déterminant, vue comme fonction des coefficients de la matrice :

${ℝ}^{n^2}\simeq {\mathrm{M}}_n(ℝ)\to ℝ,A\mapsto \det A$.

La formule de Leibniz montre que c'est une fonction polynomiale (homogène) donc indéfiniment différentiable.

On peut retrouver et préciser cette régularité grâce aux formules de Laplace Modèle:Supra : en un point Modèle:Mvar quelconque de MModèle:Ind(ℝ), la fonction Modèle:Math est affine par rapport à la variable d'indice Modèle:Math, et sa dérivée partielle est le cofacteur de Modèle:Mvar de même indice :

On en déduit, toujours au point Modèle:Mvar, le gradient de Modèle:Math (si l'on munit MModèle:Ind(ℝ) de son produit scalaire canonique) : Modèle:Retrait

ou encore, sa différentielle donc son développement limité à l'ordre 1 : Modèle:Retrait

Notamment pour le cas où Modèle:Mvar est la matrice identité : Modèle:Retrait

Comatrice et produit vectoriel

Si Modèle:Mvar est une matrice réelle d'ordre 3, elle agit sur les vecteurs de l'espace euclidien orienté ℝModèle:3. La comatrice de Modèle:Mvar décrit alors l'interaction de Modèle:Mvar avec le produit vectoriel :

$Au\wedge Av=\mathrm{com}A(u\wedge v)$.