Polynôme d'Appell généralisé

En mathématiques, une suite de polynômes $(p_n(z){)}_{n\in \mathbb{N}}$ possède une représentation d'Appell généralisée si la fonction génératrice des polynômes prend la forme :

$K(z,w)=A(w)\mathrm{\Psi }(zg(w))=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{p}_n(z)w^n$

où la fonction génératrice $K(z,w)$ est composée des séries :

• $A(w)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_n{w}^n$ avec $a_0\ne 0$ ;
• $\mathrm{\Psi }(t)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{\mathrm{\Psi }}_n{t}^n$ avec tous les ${\mathrm{\Psi }}_n\ne 0$ ;
• $g(w)=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{g}_n{w}^n$ avec $g_1\ne 0$.

Dans les conditions ci-dessus, il n'est pas difficile de montrer que $p_n(z)$ est polynôme de degré $n$.

Cas particuliers

• Le choix de $g(w)=w$ donne la classe des polynômes de Brenke.
• Le choix de $\mathrm{\Psi }(t)={\mathrm{e}}^t$ donne la suite des polynômes de Sheffer.
• Le choix simultané de $g(w)=w$ et de $\mathrm{\Psi }(t)={\mathrm{e}}^t$ donne la suite des polynômes d'Appell au sens strict.

Représentation explicite

Les polynômes d'Appell généralisés ont la représentation explicite

$p_n(z)=\sum _{k=0}^n{z}^k{\mathrm{\Psi }}_k{h}_k$.

Le coefficient $h_k$ est

$h_k=\sum _P{a}_{j_0}{g}_{j_1}{g}_{j_2}\dots g_{j_k}$

où la somme s'étend à toutes les « partitions au sens large » de n en k + 1 parties, c'est-à-dire à tous les (k + 1) uplets j d'entiers positifs ou nuls de somme n.

Pour les polynômes d'Appell, cette formule devient :

$p_n(z)=\sum _{k=0}^n\frac{a_{n-k}{z}^k}{k!}$.

Relations de récurrence

De manière équivalente, une condition nécessaire et suffisante pour que le noyau $K(z,w)$ puisse être écrit comme $A(w)\mathrm{\Psi }(zg(w))$ avec $g_1=1$ est que

$\frac{\partial K(z,w)}{\partial w}=c(w)K(z,w)+\frac{zb(w)}{w}\frac{\partial K(z,w)}{\partial z}$

où $b(w)$ et $c(w)$ ont un développement en série

$b(w)=\frac{w}{g(w)}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}w}g(w)=1+\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{b}_n{w}^n$

et

$c(w)=\frac{1}{A(w)}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}w}A(w)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{c}_n{w}^n$.

En faisant la substitution

$K(z,w)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{p}_n(z)w^n$,

il vient immédiatement la relation de récurrence :

$z^{n+1}\frac{d}{dz}\left[\frac{p_n(z)}{z^n}\right]=-\sum _{k=0}^{n-1}{c}_{n-k-1}{p}_k(z)-z\sum _{k=1}^{n-1}{b}_{n-k}\frac{d}{dz}{p}_k(z)$.

Dans le cas particulier des polynômes de Brenke, on a $g(w)=w$ et donc tous les $b_n$ sont nuls, ce qui simplifie considérablement la relation de récurrence.

Bibliographie

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