Suite de Sheffer

En mathématiques, et plus précisément en combinatoire, une suite de Sheffer, nommée d'après Isador M. Sheffer, est une suite de polynômes satisfaisant à des conditions permettant le calcul ombral.

Définition

Soit Modèle:Mvar une suite de polynômes (de variable x) telle que Modèle:Math. On définit un opérateur linéaire Modèle:Mvar par : Modèle:Math ; la famille des Modèle:Mvar étant une base, ceci définit Modèle:Mvar pour tous les polynômes.

La suite Modèle:Mvar est une suite de Sheffer si Modèle:Mvar est « invariant par translation », c'est-à-dire si Modèle:Math (pour tout Modèle:Mvar) entraîne Modèle:Math, autrement dit si Modèle:Mvar commute avec tous les opérateurs de translation (on dit qu'un tel Modèle:Mvar est un Modèle:Lien).

Propriétés

L'ensemble des suites de Sheffer est un groupe pour l'opération de composition ombraleModèle:Référence souhaitée, définie de la manière suivante : soit { p_n(x) : n = 0, 1, 2, 3, … } et { q_n(x) : n = 0, 1, 2, 3, … } deux suites polynomiales, avec

$p_n(x)=\sum _{k=0}^n{a}_{n,k}{x}^k\text{et}{q}_n(x)=\sum _{k=0}^n{b}_{n,k}{x}^k.$

Alors leur composé ombral $p\circ q$ est la suite polynomiale dont le n-ème terme est

$(p\circ q{)}_n(x)=\sum _{k=0}^n{a}_{n,k}{q}_k(x)=\sum _{0\le \ell \le k\le n}{a}_{n,k}{b}_{k,\ell }{x}^{\ell }$.

L'élément neutre de ce groupe est la base canonique des monômes $e_n(x)=x^n=\sum _{k=0}^n{\delta }_{n,k}{x}^k$ (où $\delta$ est le symbole delta de Kronecker).

Deux sous-groupes importants sont celui des suites d'Appell (contenant par exemple les polynômes d'Appell), pour lesquelles l'opérateur Q est la différentiation usuelle, et celui des suites de type binomial, qui sont celles vérifiant l'identité

$p_n(x+y)=\sum _{k=0}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})p_k(x)p_{n-k}(y).$

Une suite de Sheffer { p_n(x): n = 0, 1, 2, ... } est de type binomial si et seulement si $p_0(x)=1$ et $p_n(0)=0\text{ pour }n\ge 1.$

Le groupe des suites d'Appell est abélien, et c'est un sous-groupe normal ; le groupe des suites de type binomial n'est ni abélien, ni normal. Le groupe des suites de Sheffer est le produit semi-direct de ces deux sous-groupes ; il en résulte que chaque classe de suites de Sheffer suivant le groupe des suites d'Appell contient exactement une suite de type binomial. Si s_n(x) est une suite de Sheffer et p_n(x) est la suite de type binomial dans la même classe, alors

$s_n(x+y)=\sum _{k=0}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})p_k(x)s_{n-k}(y).$

En particulier, si { s_n(x) } est une suite d'Appell,

$s_n(x+y)=\sum _{k=0}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})x^k{s}_{n-k}(y).$

Les suites des polynômes d'Hermite et des polynômes de Bernoulli sont des exemples de suites d'Appell.

Une suite de Sheffer p_n est caractérisée par sa série génératrice exponentielle

$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{p_n(x)}{n!}{t}^n=A(t)\exp (xB(t))$

où A et B sont des séries formelles de puissances de t. Les suites de Sheffer sont ainsi des exemples de polynômes d'Appell généralisés et satisfont par conséquent à une relation de récurrence associée.

Exemples

Parmi les suites de polynômes qui sont des suites de Sheffer, on trouve la suite des monômes $(x^n)$, mais aussi :

• les polynômes d'Abel ;
• les polynômes de Bernoulli ;
• les polynômes d'Hermite ;
• les polynômes de Laguerre ;

ainsi que les polynômes de Mahler, les polynômes de Mott, etc.

Voir aussi

• Calcul ombral

Références

• Modèle:Ouvrage
• Modèle:Article
• Modèle:Ouvrage

Liens externes

• Modèle:MathWorld

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