Polynôme de Bernoulli

Polynômes de Bernoulli

En mathématiques, les polynômes de Bernoulli apparaissent dans l'étude de beaucoup de fonctions spéciales et en particulier, la fonction zêta de Riemann ; des polynômes analogues, correspondant à une fonction génératrice voisine, sont connus sous le nom de polynômes d'Euler.

Définition

Les polynômes de Bernoulli sont l'unique suite de polynômes ${\left(B_n\right)}_{n\in \mathbb{N}}$ telle que :

• $B_0=1$
• $\mathrm{\forall }n\in \mathbb{N},B{\text{'}}_{n+1}=(n+1)B_n$
• $\mathrm{\forall }n\in {\mathbb{N}}^{*},\underset{0}{\overset{1}{\int }}{B}_n(x)dx=0$

Fonctions génératrices

La série génératrice des polynômes de Bernoulli est

$\frac{t{e}^{xt}}{e^t-1}=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{B}_n(x)\frac{t^n}{n!}$.

La série génératrice des polynômes d'Euler est

$\frac{2e^{xt}}{e^t+1}=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{E}_n(x)\frac{t^n}{n!}$.

Les nombres d'Euler et de Bernoulli

Les nombres de Bernoulli sont donnés par $B_n=B_n(0)$.

Les nombres d'Euler sont donnés par $E_n=2^{2n}{E}_{2n}(1/2)$.

Expressions explicites pour les petits ordres

Modèle:Col-begin Modèle:Col-2 Les premiers polynômes de Bernoulli sont :

$B_0(x)=1$

$B_1(x)=x-\frac{1}{2}$

$B_2(x)=x^2-x+\frac{1}{6}$

$B_3(x)=x^3-\frac{3}{2}{x}^2+\frac{1}{2}x$

$B_4(x)=x^4-2x^3+x^2-\frac{1}{30}$

$B_5(x)=x^5-\frac{5}{2}{x}^4+\frac{5}{3}{x}^3-\frac{1}{6}x$

$B_6(x)=x^6-3x^5+\frac{5}{2}{x}^4-\frac{1}{2}{x}^2+\frac{1}{42}$

Modèle:Col-2 Les quelques premiers polynômes d'Euler sont :

$E_0(x)=1$

$E_1(x)=x-\frac{1}{2}$

$E_2(x)=x^2-x$

$E_3(x)=x^3-\frac{3}{2}{x}^2+\frac{1}{4}$

$E_4(x)=x^4-2x^3+x$

$E_5(x)=x^5-\frac{5}{2}{x}^4+\frac{5}{2}{x}^2-\frac{1}{2}$

$E_6(x)=x^6-3x^5+5x^3-3x$

Propriétés des polynômes de Bernoulli

Différences

Les polynômes de Bernoulli et d'Euler obéissent à beaucoup de relations du calcul ombral utilisé par Édouard Lucas, par exemple.

$B_n(x+1)-B_n(x)=n{x}^{n-1}$

$E_n(x+1)+E_n(x)=2x^n$

Dérivées

${B_n}^{\prime }(x)=n{B}_{n-1}(x)$

${E_n}^{\prime }(x)=n{E}_{n-1}(x)$

Translations

$B_n(x+y)=\sum _{k=0}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})B_k(x)y^{n-k}$

$E_n(x+y)=\sum _{k=0}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})E_k(x)y^{n-k}$

Symétries

$B_n(1-x)=(-1{)}^n{B}_n(x)$

$E_n(1-x)=(-1{)}^n{E}_n(x)$

$(-1{)}^n{B}_n(-x)=B_n(x)+n{x}^{n-1}$

$(-1{)}^n{E}_n(-x)=-E_n(x)+2x^n$

Autres propriétés

$\mathrm{\forall }n\in \mathbb{N},B_n(x)=2^{n-1}(B_n\left(\frac{x}{2}\right)+B_n\left(\frac{x+1}{2}\right))$

$\mathrm{\forall }p\in \mathbb{N},\mathrm{\forall }n\in \mathbb{N},\sum _{k=0}^n{k}^p=\frac{B_{p+1}(n+1)-B_{p+1}(0)}{p+1}$

Cette dernière égalité, déduite de la formule de Faulhaber, vient de l'égalité : $\underset{x}{\overset{x+1}{\int }}{B}_n(t)\mathrm{d}t=x^n$ ou, plus simplement, de la somme télescopique

$\sum _{k=0}^n(B_m(k+1)-B_m(k))=B_m(n+1)-B_m(0)$

.

Valeurs particulières

Les nombres $B_n=B_n(0)$ sont les nombres de Bernoulli.

$\mathrm{\forall }n>1,B_n(0)=B_n(1)$

Les nombres de Bernoulli de rang impair différent de 1 sont nuls :

$\mathrm{\forall }p\in {\mathbb{N}}^{*}{B}_{2p+1}(0)=B_{2p+1}(1)=0$

$\mathrm{\forall }p\in \mathbb{N}{B}_{2p+1}\left(\frac{1}{2}\right)=0$

$\mathrm{\forall }p\in \mathbb{N}{B}_{2p}\left(\frac{1}{2}\right)=(\frac{1}{2^{2p-1}}-1)B_{2p}$

Série de Fourier

La série de Fourier des polynômes de Bernoulli est aussi une série de Dirichlet, donnée par le développement :

$B_n(x)=-\frac{n!}{(2\pi \mathrm{i}{)}^n}\sum _{\genfrac{}{}{0ex}{}{k\in \mathbb{Z}}{k\ne 0}}\frac{{\mathrm{e}}^{2\pi \mathrm{i}kx}}{k^n}=-n!\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{{\mathrm{e}}^{2\pi \mathrm{i}kx}+(-1{)}^n{\mathrm{e}}^{-2\pi \mathrm{i}kx}}{(2\pi \mathrm{i}k{)}^n}=-2n!\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{\cos (2k\pi x-\frac{n\pi }{2})}{(2k\pi {)}^n}$,

valide seulement pour 0 ≤ x ≤ 1 lorsque n ≥ 2 et pour 0 < x < 1 lorsque n = 1.

C'est un cas particulier de la formule de Hurwitz.

Voir aussi

Bibliographie

• Modèle:Handbook of Mathematical Functions (Abramowitz et Stegun), chap. 23
• Modèle:En Tom M. Apostol, Introduction to Analytic Number Theory, 1976, Springer-Verlag, New York, chap. 12.11

Articles connexes

• Formule de Faulhaber
• Formule d'Euler-Maclaurin
• Jacques Bernoulli