Nombres d'Euler

Modèle:Ébauche Modèle:Voir homonymes Les nombres d'Euler $E_n$ forment une suite d'entiers naturels définis par le développement en série de Taylor suivant :

$\frac{1}{\cos x}=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{E}_n\frac{x^{2n}}{(2n)!}$

On les appelle aussi parfois les nombres sécants, du nom de la fonction sécante, $\sec =1/\cos$. Ils forment la la Modèle:OEIS.

Premiers nombres d'Euler

Les premières valeurs sont :

$E_0=$ 1

$E_1=$ 1

$E_2=$ 5

$E_3=$ 61

$E_4=$ 1 385

$E_5=$ 50 521

$E_6=$ 2 702 765

$E_7=$ 199 360 981

$E_8=$ Modèle:Nombre

$E_9=$ Modèle:Nombre

Les nombres d'Euler apparaissent dans le développement en série de Taylor de la fonction sécante :

$\sec x=\frac{1}{\cos x}=1+E_1\frac{x^2}{2!}+E_2\frac{x^4}{4!}+E_3\frac{x^6}{6!}+\dots$

et, dans la version alternée de la série, dans celui de la fonction sécante hyperbolique :

$\frac{1}{\cosh x}=1-E_1\frac{x^2}{2!}+E_2\frac{x^4}{4!}-E_3\frac{x^6}{6!}+\dots$.

Ils apparaissent aussi en combinatoire comme nombres de configurations zig-zag de taille paire : $E_n=A_{2n}$. Une configuration zig-zag de taille $n$ est une liste de $n$ nombres réels Modèle:Math tels que

$z_1>z_2<z_3>z_4\dots$

Deux configurations sont considérées comme identiques si les positions relatives de tous les nombres $z_k$ sont les mêmes.

Les polynômes d'Euler sont construits avec les nombres d'Euler à partir de cette fonction génératrice.

Formules explicites

Sommations

Une formule explicite pour les nombres d'Euler est Modèle:Refsou :

$E_n=(-1{)}^n\mathrm{i}\sum _{k=1}^{2n+1}\sum _{j=0}^k(\genfrac{}{}{0ex}{}{k}{j})\frac{(-1{)}^j(k-2j{)}^{2n+1}}{2^k{\mathrm{i}}^{k}k}$

où [[Unité imaginaire|Modèle:Math]] est le nombre complexe tel que Modèle:Math.

Sommes sur les partitions

Le nombre $E_n$ s'exprime comme somme sur les partitions paires de $2n$ :

$E_n=(-1{)}^n(2n)!\sum _{0\le k_1,\dots ,k_n\le n}\left(\begin{array}{c}K\\ k_1,\dots ,k_n\end{array}\right){\delta }_{n,\sum m{k}_m}{\left(\frac{-1}{2!}\right)}^{k_1}{\left(\frac{-1}{4!}\right)}^{k_2}\cdots {\left(\frac{-1}{(2n)!}\right)}^{k_n},$

et aussi comme somme sur les partitions impaires de $2n-1$ :

$E_n=-(2n-1)!\sum _{0\le k_1,\dots ,k_n\le 2n-1}\left(\begin{array}{c}K\\ k_1,\dots ,k_n\end{array}\right){\delta }_{2n-1,\sum (2m-1)k_m}{\left(\frac{-1}{1!}\right)}^{k_1}{\left(\frac{1}{3!}\right)}^{k_2}\cdots {\left(\frac{(-1{)}^n}{(2n-1)!}\right)}^{k_n},$

où, dans les deux cas, $K=k_1+\cdots +k_n$ et

$\left(\begin{array}{c}K\\ k_1,\dots ,k_n\end{array}\right)\equiv \frac{K!}{k_1!\cdots k_n!}$

est un coefficient multinomial. La notation du delta de Kronecker dans ces formules restreint la somme aux $k_i$ tels que $2k_1+4k_2+\cdots +2n{k}_n=2n$ et $k_1+3k_2+\cdots +(2n-1)k_n=2n-1$, respectivement.

Par exemple,

$\begin{array}{cc}{E}_5& =-10!(-\frac{1}{10!}+\frac{2}{2!8!}+\frac{2}{4!6!}-\frac{3}{2{!}^{2}6!}-\frac{3}{2!4{!}^2}+\frac{4}{2{!}^{3}4!}-\frac{1}{2{!}^5})\\ & =-9!(-\frac{1}{9!}+\frac{3}{1{!}^{2}7!}+\frac{6}{1!3!5!}+\frac{1}{3{!}^3}-\frac{5}{1{!}^{4}5!}-\frac{10}{1{!}^{3}3{!}^2}+\frac{7}{1{!}^{6}3!}-\frac{1}{1{!}^9})\\ & =50521.\end{array}$

Avec un déterminant

$E_n$ est aussi donné par le déterminantModèle:Refsou :

$\begin{array}{cc}{E}_n& =(2n)!\left|\begin{array}{ccccc}\frac{1}{2!}& 1& & & \\ \frac{1}{4!}& \frac{1}{2!}& 1& & \\ ⋮& & \ddots & \ddots & \\ \frac{1}{(2n-2)!}& \frac{1}{(2n-4)!}& & \frac{1}{2!}& 1\\ \frac{1}{(2n)!}& \frac{1}{(2n-2)!}& \cdots & \frac{1}{4!}& \frac{1}{2!}\end{array}\right|.\end{array}$

Application

Les nombres d'Euler apparaissent dans les expressions exactes des séries alternées : $\beta (2k+1)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n}{(2n+1{)}^{2k+1}}=\frac{E_k}{2(2k)!}{\left(\frac{\pi }{2}\right)}^{2k+1}$, voir à fonction bêta de Dirichlet.

Voir aussi

• Transformation du boustrophédon, permettant de calculer les nombres d’Euler.
• Permutation alternée