Série de Riemann

Modèle:Ébauche Modèle:Confusion Pour Modèle:Math un nombre complexe, on appelle série de Riemann la série suivante : $S=\sum _{n⩾1}\frac{1}{n^{\alpha }}$.

La série harmonique en est un cas particulier, pour Modèle:Math = 1 : $\sum _{n⩾1}\frac{1}{n}=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots +\frac{1}{n}+\dots$

Convergence

En effet :

• si Modèle:Math, la série est grossièrement divergente ;
• la preuve de la convergence absolue pour Modèle:Math peut se faire par comparaison série-intégrale avec l'intégrale impropre associée :

  $\underset{1}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{\mathrm{d}t}{t^{\alpha }};$

• celle de la divergence pour Modèle:Math également ;
• si Modèle:Math avec Modèle:Math et t réel non nul, il suffit d'affiner un peu la méthode.

Valeurs particulières

Modèle:Voir On sait calculer explicitement la somme de la série de Riemann pour tout Modèle:Math entier pair supérieur ou égal à 2. Une observation assez frappante est que ces sommes sont toutes de la forme suivante, pour Modèle:Math entier naturel non nul :

$\sum _{n=1}^{+\mathrm{\infty }}\frac{1}{n^{2p}}=r_p{\pi }^{2p}$, où $r_p$ est un nombre rationnel (voir Nombre de Bernoulli).

Par exempleModèle:Retrait

En revanche, on ne sait rien concernant les valeurs prises pour Modèle:Math entier impair, hormis que pour Modèle:Math = 3, la somme, appelée constante d'Apéry, est irrationnelle (démontré par Roger Apéry en 1978).

Fonction zêta de Riemann

Modèle:Loupe La fonction zêta de Riemann Modèle:Math est définie sur le demi-plan des nombres complexes de partie réelle strictement supérieure à 1 par la série convergente :

$\zeta (s)=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n^s}.$

Il s'agit d'une fonction holomorphe sur ce demi-plan.

Elle intervient dans l’étude de la répartition des nombres premiers dans le cadre de l’hypothèse de Riemann.

Généralisations

• Les séries de Bertrand, de la formeModèle:Retrait
• Les séries de Dirichlet, de la formeModèle:Retrait
• Les séries de Riemann multiples, de la forme Modèle:RetraitIl y a convergence absolue si et seulement si Modèle:Math.

Voir aussi

• Histoire de la fonction zêta de Riemann
• Test de condensation de Cauchy
• Série de Riemann alternée $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^{n-1}}{n^{\alpha }}$ à fonction êta de Dirichlet