Loi de Tukey-lambda

En théorie des probabilités et en statistique, la loi de Tukey-lambda est une loi de probabilité à support compact ou infini, en fonction de la valeur de son paramètre. Cette loi est à densité, cependant sa densité ne possède pas d'expression analytique. La loi est alors définie par ses quantiles.

Différents paramétrages

La loi de Tukey-lambda est connue de façon implicite par la distribution de ses quantiles:

$G(p)\equiv F^{-1}(p)=\{\begin{array}{cc}[p^{\lambda }-(1-p{)}^{\lambda }]/\lambda ,& \text{si }\lambda \ne 0\\ \mathrm{logit}(p),& \text{si }\lambda =0\end{array}$

avec la fonction logit.

Le paramètre $\lambda$ est un paramètre de forme, comme le résume le tableau suivant.

λ = −1	approximativement une loi de Cauchy
λ = 0	exactement une loi logistique
λ = 0,14	approximativement une loi normale
λ = 0,5	strictement concave
λ = 1	exactement une loi uniforme continue sur]–1 ; 1[

La densité et la fonction de répartition de cette loi doivent être approchées numériquement. Cette loi a par la suite été généralisée.

Lois de Tukey-lambda généralisées

• La version de Ramberg et Schmeiser

$G(p)={\lambda }_1+\frac{p^{{\lambda }_3}-(1-p{)}^{{\lambda }_4}}{{\lambda }_2}$

• La version de Freimer, Mudholkar, Kollia et Lin

$G(p)={\lambda }_1+\frac{\frac{p^{{\lambda }_3}}{{\lambda }_3}-\frac{(1-p{)}^{{\lambda }_4}}{{\lambda }_4}}{{\lambda }_2}$

Liens externes

• The Generalised Lambda Distribution
• Generalised Lambda Distribution (R documentation)
• Tukey-Lambda Distribution @ The NIST/SEMATECH e-Handbook of Statistical Methods