Fonction quantile

En probabilités, la fonction quantile est une fonction qui définit les quantiles.

Définition formelle

Soit X une variable aléatoire et F sa fonction de répartition, la fonction quantile est définie par

$Q(q)=F^{\leftarrow }(q)=\inf \{x:F(x)⩾q\}$

pour toute valeur de $q\in [0,1]$, la notation $F^{\leftarrow }$ désignant l’inverse généralisé à gauche de $F$.

Si F est une fonction strictement croissante et continue, alors $Q(q)$ est l'unique valeur de $x$ telle que $F(x)=q$. $F^{\leftarrow }$ correspond alors à la fonction réciproque de $F$, notée $F^{-1}$. En revanche, pour les lois discrètes, les fonctions de répartition sont toutes en escalier, d'où l'intérêt de la définition précédente.

On dit que :

• $Q(0,5)$ est la médiane ;
• $Q(0,25)$ le premier quartile ;
• $Q(0,75)$ le troisième quartile ;
• $Q(0,1)$ le premier décile et
• $Q(0,9)$ le neuvième décile.

Exemples

Lois continues

Par exemple, la fonction de répartition de la loi exponentielle de paramètre Modèle:Math est :

$F(x;\lambda )=1-{\mathrm{e}}^{-\lambda x}11_{x\ge 0}$

La fonction quantile de cette loi revient, pour une valeur 0 ≤ Modèle:Mvar < 1, la valeur Modèle:Mvar tel que $1-{\mathrm{e}}^{-\lambda Q}=p$ soit :

$Q(p;\lambda )=\frac{-\ln (1-p)}{\lambda },$

Les quartiles sont donc :

• premier quartile (Modèle:Mvar = 1/4): $-\ln (3/4)/\lambda$
• médiane (Modèle:Mvar = 2/4) : $-\ln (1/2)/\lambda$
• troisième quartile (Modèle:Mvar = 3/4) : $-\ln (1/4)/\lambda .$

De la même façon, on obtient les fonctions quantiles des lois suivantes :

• loi de Cauchy de paramètres Modèle:Math et Modèle:Mvar

  $Q(p;x_0,a)=x_0+a\tan \left(\pi (p-\frac{1}{2})\right)$

• loi logistique de paramètres Modèle:Math et Modèle:Mvar

  $Q(p;\mu ,s)=\mu +2s\mathrm{artanh}(2p-1)$

• loi de Laplace

  $Q(p;\mu ,b)=\mu -b\mathrm{sgn}(p-0,5)\ln (1-2|p-0,5|).$

Loi de Tukey-lambda

La loi de Tukey-lambda est définie par sa fonction quantile :

$Q(p;\lambda )=\frac{p^{\lambda }-(1-p{)}^{\lambda }}{\lambda },\lambda \in ℝ$

Voir aussi

Articles connexes

• Fonction de répartition
• Quantile
• Régression quantile

Liens externes

• Modèle:MathWorld