Sous-espace vectoriel engendré

Dans un espace vectoriel E, le sous-espace vectoriel engendré par une partie A de E est le plus petit sous-espace vectoriel de E contenant A. C'est aussi l'ensemble des combinaisons linéaires de vecteurs de A. Le sous-espace vectoriel engendré par une famille de vecteurs est le plus petit sous-espace contenant tous les vecteurs de cette famille.

Une famille de vecteurs ou une partie est dite génératrice de E si le sous-espace qu'elle engendre est l'espace entier E.

Définitions équivalentes

Soit A une partie (pas nécessairement finie) d'un espace vectoriel E sur un corps commutatif K.

On note Modèle:Math(A)Modèle:, (ou encore parfois [A]) l'ensemble des combinaisons linéaires de vecteurs de A. Autrement dit : un vecteur Modèle:Math appartient à Modèle:Math(A) si et seulement s'il existe une famille (Modèle:MathModèle:Ind)Modèle:Ind de scalaires, à support fini (c'est-à-dire que l'ensemble des indices correspondant à des scalaires non nuls est fini) et telle que

$v=\sum _{a\in A}{\lambda }_{a}a.$

On démontre que Modèle:Math(A) est un sous-espace vectoriel de E contenant A et que c'est le plus petit (pour l'inclusion), ce qui en fournit une définition équivalente. Modèle:Math(A) est donc l'intersection de tous les sous-espaces vectoriels de E contenant A.

La partie A est dite génératrice de Modèle:Math(A), ou ensemble de générateurs de Modèle:Math(A).

La définition s'étend à une famille quelconque (vModèle:Ind)Modèle:Ind de vecteurs de E (non nécessairement distincts). Le sous-espace vectoriel engendré par la famille, noté Modèle:Math((vModèle:Ind)Modèle:Ind), est le sous-espace vectoriel engendré par la partie A = {vModèle:Ind | i ∈ I}. C'est donc l'ensemble de toutes les combinaisons linéaires de vecteurs de la famille :

$\mathrm{V}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{t}((v_i{)}_{i\in I})=\{{\lambda }_{i_1}{v}_{i_1}+\cdots +{\lambda }_{i_k}{v}_{i_k}|k\in \mathbb{N},i_1,\dots ,i_k\in I,{\lambda }_{i_1},\dots ,{\lambda }_{i_k}\in K\}$

où ℕ est l'ensemble des entiers naturels.

Les familles (Modèle:MathModèle:Ind)Modèle:Ind de scalaires à support fini forment un [[Exemples d'espaces vectoriels#Généralisation des espaces de suites à support fini|K-espace vectoriel noté KModèle:Exp]]. Le sous-espace vectoriel engendré par la famille (vModèle:Ind)Modèle:Ind est l'image de l'application linéaire

$\begin{array}{ccc}{K}^{(I)}& \to & E\\ ({\lambda }_i{)}_{i\in I}& \mapsto & \sum _{i\in I}{\lambda }_i{v}_i.\end{array}$

Base

Modèle:Loupe Une base de E est une famille génératrice constituée de vecteurs linéairement indépendants. De manière équivalente, une base est une famille génératrice minimale. De toute famille génératrice peut être extraite une sous-famille qui est une base. L'argument repose soit sur une récurrence pour une famille finie, soit sur le lemme de Zorn pour une famille infinie.

Exemples

• Dans l'espace vectoriel réel ℝModèle:Exp, la base canonique est, comme toute base, un ensemble générateur.
• Dans ℝModèle:3, un exemple d'ensemble générateur et non libre (donc qui n'est pas une base) est {(1, 2, 3), (0, 1, 2), (–1, 1/2, 3), (1, 1, 1)}.
• Le triplet des vecteurs u = (1, 0, 0), v = (1,1,0) et w = (0,1,0) = v – u n'engendre pas ℝModèle:3 tout entier mais seulement le plan vectoriel d'équation z = 0 :$\mathrm{V}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{t}(u,v,w)=\mathrm{V}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{t}(u,v)=\{(\lambda +\mu ,\mu ,0)|(\lambda ,\mu )\in {ℝ}^2\}=\{(x,y,0)|(x,y)\in {ℝ}^2\}.$
• Soit $P=\{(x,y,z)\in {ℝ}^3|x+y-z=0\}$. On a$P=\{x(1,0,1)+y(0,1,1)|(x,y)\in {ℝ}^2\}=\mathrm{V}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{t}((1,0,1),(0,1,1)).$
• Dans l'espace K[X] des polynômes à une indéterminée sur K :
  • le sous-espace engendré par les monômes 1, X, XModèle:2, … , XModèle:Exp est le sous-espace des polynômes de degré inférieur ou égal à n ;
  • le sous-espace engendré par les monômes XModèle:Exp pour k entier naturel est le sous-espace des polynômes de la forme P(XModèle:2).
• Dans tout espace vectoriel, le sous-espace engendré par l'ensemble vide est l'espace nul.

Propriétés

• Pour toute partie Modèle:Math et tout vecteur Modèle:Math d'un espace vectoriel E, on a :$\mathrm{V}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{t}(A\cup \{v\})=\mathrm{V}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{t}(A)⟺v\in \mathrm{V}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{t}(A).$
• Pour tout entier naturel n, la dimension d'un espace vectoriel engendré par une famille de n vecteurs est égale à n (si et) seulement si la famille est libre.
• Pour toutes parties Modèle:Math et Modèle:Math de E, $\mathrm{V}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{t}(A\cup B)=\mathrm{V}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{t}(A)+\mathrm{V}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{t}(B).$
• L'application Modèle:Math, de l'ensemble des parties de E dans lui-même, est un opérateur de clôture, c'est-à-dire une application :
  • croissante : si $A\subset B$, alors $\text{Vect}(A)\subset \text{Vect}(B)$ ;
  • extensive : $A\subset \text{Vect}(A)$ ;
  • idempotente : $\text{Vect}(\text{Vect}(A))=\text{Vect}(A)$.