Déterminant de Cauchy

Modèle:Ébauche En algèbre linéaire, le déterminant de Cauchy est un déterminant classique, qui peut être relié à des problèmes de fractions rationnelles. Son nom est un hommage au mathématicien Augustin Louis Cauchy.

Le déterminant de Cauchy est un déterminant de taille $n$ et de terme général $\frac{1}{a_i+b_j}$, où les complexes $a_1,\dots ,a_n$ et $b_1,\dots ,b_n$ sont tels que pour tout $i$ et $j$, $a_i+b_j$ est non nul.

$D_n=\left|\begin{array}{cccc}\frac{1}{a_1+b_1}& \frac{1}{a_1+b_2}& \dots & \frac{1}{a_1+b_n}\\ \frac{1}{a_2+b_1}& \frac{1}{a_2+b_2}& \dots & \frac{1}{a_2+b_n}\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ \frac{1}{a_n+b_1}& \frac{1}{a_n+b_2}& \dots & \frac{1}{a_n+b_n}\end{array}\right|$

Lien avec un problème d'interpolation

On recherche une fraction rationnelle ayant exactement $n$ pôles simples, qui sont les $a_i$, et prenant des valeurs fixées en $n$ points distincts des $a_i$ (ce sont les opposés des $b_j$).

Si on cherche la fraction rationnelle sous la forme

$F(X)=\sum _{i=1}^n\frac{r_i}{X-a_i}$

alors les coefficients inconnus $r_i$ sont solutions d'un système de taille $n$, dont le déterminant est un déterminant de Cauchy.

Calcul du déterminant de Cauchy

$D_n=\frac{\prod _{i<j}(a_j-a_i)\prod _{i<j}(b_j-b_i)}{\prod _{i,j}(a_i+b_j)}=\frac{\mathrm{V}(a_1,\dots ,a_n)\mathrm{V}(b_1,\dots ,b_n)}{\prod _{i,j}(a_i+b_j)}$ en notant $\mathrm{V}({\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_n)$ le déterminant de la Matrice de Vandermonde de la famille $({\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_n)$.